問題2-2は、ベクトル $\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$、$\vec{b} = -\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$ が与えられたとき、以下のものを求める問題です。 (1) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の大きさ ($|\vec{a}|, |\vec{b}|$) (2) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の内積 ($\vec{a} \cdot \vec{b}$) (3) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の外積 ($\vec{a} \times \vec{b}$) (4) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ に垂直な単位ベクトル (5) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ のなす角 さらに、次のベクトル三重積の公式を示す問題です。 (1) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$ (2) $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ (3) $(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = \{\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{D})\} \vec{C} - \{\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\} \vec{D}$

## 問題の解答

1. 問題の内容

問題2-2は、ベクトル $\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$、$\vec{b} = -\vec{i} + 2\vec{j} - 3\vec{k}$ が与えられたとき、以下のものを求める問題です。

(1) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の大きさ ($|\vec{a}|, |\vec{b}|$)

(2) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の内積 ($\vec{a} \cdot \vec{b}$)

(3) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の外積 ($\vec{a} \times \vec{b}$)

(4) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ に垂直な単位ベクトル

(5) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ のなす角

さらに、次のベクトル三重積の公式を示す問題です。

(1) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$

(2) $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$

(3) $(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = \{\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{D})\} \vec{C} - \{\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\} \vec{D}$

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの大きさは、各成分の2乗和の平方根で求めます。

$$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$$

$$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$

(2) ベクトルの内積は、対応する成分同士の積の和で求めます。

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-3)(2) + (5)(-3) = -2 - 6 - 15 = -23$$

(3) ベクトルの外積は、行列式を用いて計算します。

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (9-10)\vec{i} - (-6+5)\vec{j} + (4-3)\vec{k} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$

(4) $\vec{a}$と$\vec{b}$に垂直なベクトルは$\vec{a} \times \vec{b}$で与えられます。単位ベクトルにするためには、$\vec{a} \times \vec{b}$をその大きさで割ります。

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

よって、$\vec{a}$と$\vec{b}$に垂直な単位ベクトルは、

$$\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{3}} = \pm \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{k} \right)$$

(5) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$は、内積の定義から求めます。

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-23}{\sqrt{38} \sqrt{14}} = \frac{-23}{\sqrt{532}} \approx -0.996$$

$$\theta = \arccos \left( \frac{-23}{\sqrt{532}} \right) \approx 175.5^\circ$$

[2]

(1) $\vec{A} = (A_1, A_2, A_3)$, $\vec{B} = (B_1, B_2, B_3)$, $\vec{C} = (C_1, C_2, C_3)$とすると、

$\vec{B} \times \vec{C} = (B_2C_3 - B_3C_2, B_3C_1 - B_1C_3, B_1C_2 - B_2C_1)$

$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (A_2(B_1C_2-B_2C_1) - A_3(B_3C_1-B_1C_3), A_3(B_2C_3-B_3C_2) - A_1(B_1C_2-B_2C_1), A_1(B_3C_1-B_1C_3) - A_2(B_2C_3-B_3C_2))$

$(\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C} = (A_1C_1+A_2C_2+A_3C_3)(B_1,B_2,B_3) - (A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3)(C_1,C_2,C_3)$

$= ((A_1C_1+A_2C_2+A_3C_3)B_1 - (A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3)C_1, (A_1C_1+A_2C_2+A_3C_3)B_2 - (A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3)C_2, (A_1C_1+A_2C_2+A_3C_3)B_3 - (A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3)C_3)$

計算すると、成分同士が一致することが確認できます。

(2) $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ はスカラー三重積の性質です。

$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \begin{vmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{vmatrix}$

$\vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \begin{vmatrix} B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \\ A_1 & A_2 & A_3 \end{vmatrix}$

$\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \begin{vmatrix} C_1 & C_2 & C_3 \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \end{vmatrix}$

行列式の性質から、行を入れ替えることで符号が反転し、2回入れ替えることで元の値に戻ります。

(3) この公式は、(1) と (2) を繰り返し使うことで導出できます。ここでは省略します。

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a}| = \sqrt{38}$, $|\vec{b}| = \sqrt{14}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -23$

(3) $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

(4) $\pm \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\vec{k} \right)$

(5) $\theta \approx 175.5^\circ$

[2]

(1) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$ (公式を示した)

(2) $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ (公式を示した)

(3) $(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = \{\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{D})\} \vec{C} - \{\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\} \vec{D}$ (公式を示した)