三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBの中点をNとする。 (1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、$\overrightarrow{MN}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。 (2) $\overrightarrow{AB}$ // $\overrightarrow{MN}$であることを証明する。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBの中点をNとする。

(1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、$\overrightarrow{MN}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

(2) $\overrightarrow{AB}$ // $\overrightarrow{MN}$であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{MN}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$

MはOAの中点なので、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

NはOBの中点なので、$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

よって、

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

(2) $\overrightarrow{AB}$ // $\overrightarrow{MN}$であることを証明する。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

(1)より、$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

したがって、$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MN}$となり、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{MN}$は平行である。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

(2) $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MN}$より、$\overrightarrow{AB}$ // $\overrightarrow{MN}$である。