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三角形ABCの面積が20である。辺BC上に点PをBP = (1/3)BCとなるように、辺CA上に点QをCQ = (3/8)CAとなるように、辺AB上に点RをAR = (2/5)ABとなるようにとる。このとき、三角形PQRの面積を求めよ。

幾何学面積三角形ベクトル比
2025/5/29

1. 問題の内容

三角形ABCの面積が20である。辺BC上に点PをBP = (1/3)BCとなるように、辺CA上に点QをCQ = (3/8)CAとなるように、辺AB上に点RをAR = (2/5)ABとなるようにとる。このとき、三角形PQRの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積をSとすると、S = 20である。三角形PQRの面積を求めるために、三角形ABCから三角形APR, BQP, CRQの面積を引くことを考える。
まず、AP, BQ, CRをそれぞれ求める。
AP=AC−PC=AC−(BC−BP)=AC−BC+13BC=AC−23BCAP = AC - PC = AC - (BC - BP) = AC - BC + \frac{1}{3}BC = AC - \frac{2}{3}BC
BQ=BA−AQ=BA−(CA−CQ)=BA−CA+38CA=BA−58CABQ = BA - AQ = BA - (CA - CQ) = BA - CA + \frac{3}{8}CA = BA - \frac{5}{8}CA
CR=CB−BR=CB−(AB−AR)=CB−AB+25AB=CB−35ABCR = CB - BR = CB - (AB - AR) = CB - AB + \frac{2}{5}AB = CB - \frac{3}{5}AB
三角形APRの面積は、
12AP⋅AR⋅sin⁡A=12(AC−23BC)⋅(25AB)⋅sin⁡A\frac{1}{2} AP \cdot AR \cdot \sin A = \frac{1}{2} (AC - \frac{2}{3}BC) \cdot (\frac{2}{5}AB) \cdot \sin A
これはベクトルで計算した方が簡単である。
AP⃗=AC⃗−PC⃗=AC⃗−23BC⃗=AC⃗−23(AC⃗−AB⃗)=13AC⃗+23AB⃗\vec{AP} = \vec{AC} - \vec{PC} = \vec{AC} - \frac{2}{3}\vec{BC} = \vec{AC} - \frac{2}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{AB}
AR⃗=25AB⃗\vec{AR} = \frac{2}{5}\vec{AB}
△APR=12∣AP⃗×AR⃗∣=12∣(13AC⃗+23AB⃗)×(25AB⃗)∣=12∣13AC⃗×25AB⃗+23AB⃗×25AB⃗∣\triangle APR = \frac{1}{2} |\vec{AP} \times \vec{AR}| = \frac{1}{2} |(\frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{AB}) \times (\frac{2}{5}\vec{AB})| = \frac{1}{2} |\frac{1}{3}\vec{AC} \times \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AB} \times \frac{2}{5}\vec{AB}|
=12∣215AC⃗×AB⃗∣=215×12∣AC⃗×AB⃗∣=215S= \frac{1}{2} |\frac{2}{15} \vec{AC} \times \vec{AB}| = \frac{2}{15} \times \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AB}| = \frac{2}{15}S
三角形BQPの面積は、
BQ⃗=BA⃗+AQ⃗=BA⃗+58AC⃗\vec{BQ} = \vec{BA} + \vec{AQ} = \vec{BA} + \frac{5}{8}\vec{AC}
BP⃗=13BC⃗=13(AC⃗−AB⃗)=13AC⃗−13AB⃗\vec{BP} = \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}
△BQP=12∣BQ⃗×BP⃗∣=12∣(BA⃗+58AC⃗)×(13AC⃗−13AB⃗)∣=12∣13BA⃗×AC⃗−13BA⃗×AB⃗+524AC⃗×AC⃗−524AC⃗×AB⃗∣\triangle BQP = \frac{1}{2} |\vec{BQ} \times \vec{BP}| = \frac{1}{2} |(\vec{BA} + \frac{5}{8}\vec{AC}) \times (\frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB})| = \frac{1}{2} |\frac{1}{3}\vec{BA} \times \vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{BA} \times \vec{AB} + \frac{5}{24}\vec{AC} \times \vec{AC} - \frac{5}{24}\vec{AC} \times \vec{AB}|
=12∣−13AB⃗×AC⃗−13BA⃗×AB⃗−524AC⃗×AB⃗∣=12∣−13AB⃗×AC⃗+13⋅0−524AC⃗×AB⃗∣=12∣−13AB⃗×AC⃗+524AB⃗×AC⃗∣= \frac{1}{2} |-\frac{1}{3}\vec{AB} \times \vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{BA} \times \vec{AB} - \frac{5}{24}\vec{AC} \times \vec{AB}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{3}\vec{AB} \times \vec{AC} + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{5}{24}\vec{AC} \times \vec{AB}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{3}\vec{AB} \times \vec{AC} + \frac{5}{24}\vec{AB} \times \vec{AC}|
=12∣−8+524AB⃗×AC⃗∣=12∣−324AB⃗×AC⃗∣=32412∣AB⃗×AC⃗∣=18S= \frac{1}{2} |\frac{-8+5}{24}\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\frac{-3}{24}\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{3}{24} \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{8}S
三角形CRQの面積は、
CR⃗=−35AB⃗−AC⃗\vec{CR} = -\frac{3}{5}\vec{AB} - \vec{AC}
CQ⃗=38AC⃗\vec{CQ} = \frac{3}{8} \vec{AC}
△CRQ=12∣CR⃗×CQ⃗∣=12∣(CB⃗−35AB⃗)×38AC⃗∣=12∣−35AB⃗×38AC⃗+38CB⃗×AC⃗∣\triangle CRQ = \frac{1}{2} |\vec{CR} \times \vec{CQ}| = \frac{1}{2}|(\vec{CB} - \frac{3}{5}\vec{AB}) \times \frac{3}{8}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|-\frac{3}{5}\vec{AB} \times \frac{3}{8}\vec{AC} + \frac{3}{8}\vec{CB} \times \vec{AC}|
△CRQ=12∣940AC⃗×AB⃗+38(AB⃗−AC⃗)×AC⃗∣=12∣940AC⃗×AB⃗+38AB⃗×AC⃗∣=12∣(−940+1540)AB⃗×AC⃗∣\triangle CRQ = \frac{1}{2} | \frac{9}{40}\vec{AC} \times \vec{AB} + \frac{3}{8} (\vec{AB} - \vec{AC}) \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} | \frac{9}{40}\vec{AC} \times \vec{AB} + \frac{3}{8} \vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |(\frac{-9}{40} + \frac{15}{40})\vec{AB} \times \vec{AC}|
=12∣640AB⃗×AC⃗∣=320S= \frac{1}{2} |\frac{6}{40}\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{3}{20}S
SPQR=S−SAPR−SBQP−SCRQ=S−215S−18S−320S=S(1−215−18−320)=S(120−16−15−18120)=S71120=20⋅71120=716S_{PQR} = S - S_{APR} - S_{BQP} - S_{CRQ} = S - \frac{2}{15}S - \frac{1}{8}S - \frac{3}{20}S = S (1 - \frac{2}{15} - \frac{1}{8} - \frac{3}{20}) = S(\frac{120 - 16 - 15 - 18}{120}) = S \frac{71}{120} = 20 \cdot \frac{71}{120} = \frac{71}{6}

3. 最終的な答え

71/6

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