三角形ABCにおいて、AB = 20、角A = 52度、角B = 70度のとき、頂点Cから辺ABに下ろした垂線CHについて、辺ACの長さと線分CHの長さを求めよ。ただし、三角関数表を用いること。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 20、角A = 52度、角B = 70度のとき、頂点Cから辺ABに下ろした垂線CHについて、辺ACの長さと線分CHの長さを求めよ。ただし、三角関数表を用いること。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180度であることから、角Cを求めます。

$C = 180 - A - B = 180 - 52 - 70 = 58$ 度

次に、正弦定理を用いて辺ACの長さを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

ここで、$a$は角Aの対辺、$b$は角Bの対辺、$c$は角Cの対辺です。

今回は、$c = AB = 20$なので、ACを求めるためには、以下の式を使います。

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{20 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 58^\circ}$

三角関数表から、$\sin 70^\circ \approx 0.9397$、$\sin 58^\circ \approx 0.8480$なので、

$AC \approx \frac{20 \cdot 0.9397}{0.8480} \approx \frac{18.794}{0.8480} \approx 22.16$

次に、直角三角形ACHにおいて、

$\sin A = \frac{CH}{AC}$

$CH = AC \cdot \sin A = AC \cdot \sin 52^\circ$

三角関数表から、$\sin 52^\circ \approx 0.7880$なので、

$CH \approx 22.16 \cdot 0.7880 \approx 17.46$

3. 最終的な答え

AC $\approx$ 22.16

CH $\approx$ 17.46