$AB=AC$, $BC=1$, $\angle ABC = 72^\circ$ である $\triangle ABC$ がある。$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とするとき、以下のものを求める。 (1) $AB$ (2) $\cos 72^\circ$ (3) $\triangle ABD$ の内接円の半径を $r$, $\triangle CBD$ の内接円の半径を $s$ とするとき、$\frac{r}{s}$

1. 問題の内容

$AB=AC$, $BC=1$, $\angle ABC = 72^\circ$ である $\triangle ABC$ がある。$\angle ABC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とするとき、以下のものを求める。

(1) $AB$

(2) $\cos 72^\circ$

(3) $\triangle ABD$ の内接円の半径を $r$, $\triangle CBD$ の内接円の半径を $s$ とするとき、$\frac{r}{s}$

2. 解き方の手順

(1) $AB$ の長さを求める。

$\triangle ABC$ は二等辺三角形なので、$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 72^\circ \times 2)/2 = (180^\circ - 144^\circ)/2 = 36^\circ/2=18^\circ$。

$\angle ABD = \angle DBC = 72^\circ/2 = 36^\circ$。

$\triangle BCD$ において、$\angle BDC = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$。

$\triangle ABD$ において、$\angle ADB = 180^\circ - (36^\circ+36^\circ) = 108^\circ$, $\angle BAD= 36^\circ$。

$\triangle ABC$ と $\triangle BCD$ は相似である（$\angle BAC = \angle DBC = 36^\circ$, $\angle BCA = \angle BCD = 36^\circ$）。

したがって、$AB:BC = BC:CD$, $AB:1 = 1:CD$, $CD = \frac{1}{AB}$。

また、$\triangle ABD$ は $AB = AD$ の二等辺三角形なので、$AD = AB$。

$AC = AD + CD$, $AC = AB + \frac{1}{AB}$。

$AB = AC$ なので、$AB = AB + \frac{1}{AB}$, $AB^2 - AB - 1 = 0$。

$AB = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 ($AB > 0$ より)

(2) $\cos 72^\circ$ を求める。

$\triangle BCD$ と $\triangle ABC$ が相似であることから、

$\frac{BC}{AB} = \frac{CD}{BC} = \frac{BD}{AC} = \frac{BD}{AB}$

$AB = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を代入する。

$\cos 72^\circ = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 + 1^2 - (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2}{2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})(1)} = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 +1 - (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2}{2 \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot 1}$

$\cos 72^\circ = \frac{5-1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$BC = 1$で、$AC = AB = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ であり、$CD = AC - AD$ で、$AD = BD$。

$\angle DBC = 36^\circ$, $\frac{BC}{CD} = \frac{AB}{BC}$

$BC^2 = AB\cdot CD$

$\triangle BCD$ において、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos 36^\circ$

$AD=AB$ より $AB\cdot CD = 1$, $CD = AC - AB$ で$AD=AB$。

$\angle BDC = 180^{\circ}-(36^\circ+36^\circ) = 108^\circ$

$BD=\frac{\sin(36^\circ) BC}{\sin 108^\circ}$

$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(3) $\triangle ABD$ の内接円の半径を $r$, $\triangle CBD$ の内接円の半径を $s$ とするとき、$\frac{r}{s}$ を求める。

$\triangle ABD$ は二等辺三角形 ($AB = AD$) であり、$\angle ABD = \angle ADB = 36^\circ$。

$\triangle CBD$ も二等辺三角形 ($BC = CD$) であり、$\angle CBD = \angle CDB = 36^\circ$。

$AB = AC$ であるから、

$AD = AB$ より、$CD = AC - AD = AC- AB$ である。

$r = \frac{2S}{a+b+c}$, $r =$

$s = \frac{2S}{a+b+c}$

$\frac{r}{s} = \frac{\triangle ABD/(AB+BD+AD)}{\triangle CBD/(BC+CD+BD)}$

$\frac{r}{s} = \frac{\triangle ABD (BC+CD+BD)}{\triangle CBD (AB+BD+AD)}$

ここで、$AB = AD$ なので、$AB+AD =2AB$。

$\frac{r}{s} = \frac{\triangle ABD (BC+CD+BD)}{\triangle CBD (2AB+BD)}$

$\frac{r}{s} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(2) $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(3) $\frac{r}{s} = \frac{AD}{CD} = AB^2 = ( \frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{(BC)^2/AB}= \frac{(AB)^2}{(BC)^2} = AB^2$

ゆえに、

$\frac{r}{s} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

```

(1) AB = (1+sqrt(5))/2

(2) cos 72 = (sqrt(5)-1)/4

(3) r/s = (3+sqrt(5))/2

```