$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 3$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 3$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

$\tan \theta = 3$ より、$\sin \theta = 3 \cos \theta$ である。

これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$10 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$ である。

したがって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

次に、$\sin \theta = 3 \cos \theta$ に $\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$ を代入すると、

$\sin \theta = 3 \times (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$