(1) 与えられた図を用いて、$\sin 15^\circ$と$\cos 15^\circ$の値を求める。 (2) $\cos 57^\circ$を$45^\circ$以下の角の三角比で表す。

1. 問題の内容

(1) 与えられた図を用いて、$\sin 15^\circ$と$\cos 15^\circ$の値を求める。

(2) $\cos 57^\circ$を$45^\circ$以下の角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$BD$の長さを求める。$\triangle ABD$は直角三角形であり、$AB = \sqrt{3}$、$\angle ABD = 30^\circ$なので、$AD = \sqrt{3} \cos 60^\circ = \sqrt{3}(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$BD = \sqrt{3} \sin 60^\circ = \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2}$である。

次に、$BE$の長さを求める。$\triangle ABE$は直角三角形であり、$AB = \sqrt{3}$、$\angle ABE = 30^\circ$なので、$BE = AE \tan 60^\circ$

$\triangle BDE$において、$\angle DBE = 15^\circ$なので、

$\sin 15^\circ = \frac{DE}{BD}$

$\cos 15^\circ = \frac{BE}{BD}$

ここで、$DE=BD \sin 15^\circ$であり、$\triangle ADE$において、$AD = 1$となる。

$\triangle BDA$において、$AD = \sqrt{3} \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$であり、$BD=\sqrt{3} \cos 30^\circ = \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$である。

$CD=AC - AD =1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle B = 30+15 = 45^{\circ}$.

$\angle C = 60^{\circ}$.

$BC = BD + DC$

$\tan 15 = 2 - \sqrt{3}$.

$\sin 15 = \frac{2-\sqrt{3}}{1}= DE = AE \tan 15^{\circ}$

$BD=3/2$

$\frac{AE}{BD}= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\cos 15^{\circ}$.

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2)

$\cos 57^\circ = \sin (90^\circ - 57^\circ) = \sin 33^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$