円錐を底面に平行な平面で、高さが3等分されるように3つの立体に分ける。真ん中の立体の体積が$9\sqrt{2} \text{ cm}^3$であるとき、一番下の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

円錐を底面に平行な平面で、高さが3等分されるように3つの立体に分ける。真ん中の立体の体積が$9\sqrt{2} \text{ cm}^3$であるとき、一番下の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、相似な立体の体積比について考える。高さが3等分されているので、上から順に円錐の高さの比は1:2:3となる。したがって、体積比は$1^3:2^3:3^3 = 1:8:27$となる。

上から順に立体A, B, Cとすると、

立体Aの体積を$V_A$とすると、$V_A : V_B : V_C = 1:8:27$である。

真ん中の立体（Bの上の部分）の体積は、全体の8/27からAの部分である1/27を引いたものなので、$8/27 - 1/27 = 7/27$である。

一番下の立体（Cの下の部分）の体積は、全体の27/27からBの部分である8/27を引いたものなので、$27/27 - 8/27 = 19/27$である。

問題文より、真ん中の立体の体積は$9\sqrt{2} \text{ cm}^3$であるから、立体Aの体積を$x$とすると、真ん中の立体の体積は$8x - x = 7x$と表せる。

よって、$7x = 9\sqrt{2}$となり、$x = \frac{9\sqrt{2}}{7}$である。

一番下の立体の体積は$27x - 8x = 19x$であるから、$19x = 19 \times \frac{9\sqrt{2}}{7} = \frac{171\sqrt{2}}{7}$となる。

真ん中の部分の体積は円錐全体の体積の$\frac{7}{27}$であり、一番下の部分の体積は円錐全体の体積の$\frac{19}{27}$である。

真ん中の部分の体積が$9\sqrt{2}$なので、一番下の部分の体積を$V$とすると、

$\frac{9\sqrt{2}}{V} = \frac{7}{19}$

$V = \frac{19 \times 9\sqrt{2}}{7} = \frac{171\sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{171\sqrt{2}}{7} \text{ cm}^3$

選択肢の中に答えがないので、問題文か選択肢が間違っている可能性があります。

高さの比が1:2:3なので、体積の比は$1^3 : 2^3 : 3^3 = 1 : 8 : 27$。

真ん中の立体の体積は$8-1=7$に相当し、一番下の立体の体積は$27-8=19$に相当する。

真ん中の立体の体積が$9\sqrt{2}$なので、一番下の立体の体積は$\frac{19}{7} \times 9\sqrt{2} = \frac{171\sqrt{2}}{7}$

最終的な答え：$\frac{171\sqrt{2}}{7} \text{ cm}^3$

選択肢にこの答えがないため、問題または選択肢が間違っている可能性があります。