円錐を底面に平行な平面で、高さが3等分されるように3つの立体に分ける。真ん中の立体の体積が $91\pi \text{ cm}^3$ であるとき、一番下の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

円錐を底面に平行な平面で、高さが3等分されるように3つの立体に分ける。真ん中の立体の体積が $91\pi \text{ cm}^3$ であるとき、一番下の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

円錐の体積は、底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$ で表される。

高さが3等分されているので、上から順にできる円錐の高さの比は1:2:3となる。

相似な立体の体積比は相似比の3乗に等しいので、上から順にできる円錐の体積比は $1^3 : 2^3 : 3^3 = 1:8:27$ となる。

したがって、上から順にできる立体の体積を $V_1$, $V_2$, $V_3$ とすると、

$V_1 : V_2 : V_3 = 1:8:27$

また、問題文より、真ん中の立体の体積は $91\pi$ であるから、

$V_2 - V_1 = 8-1 = 7$ に相当する体積が $91\pi$ である。

よって、$1$ に相当する体積は $91\pi / 7 = 13\pi$ となる。

一番下の立体の体積は $V_3 - V_2 = 27-8 = 19$ に相当する。

したがって、一番下の立体の体積は $19 \times 13\pi = 247\pi$ である。

3. 最終的な答え

一番下の立体の体積は $247\pi \text{ cm}^3$ である。