(1) 放物線 $y^2 = 12x$ の焦点と準線を求めよ。 (2) 焦点が $(0, -\frac{1}{2})$ で、準線が $y = \frac{1}{2}$ である放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y^2 = 12x$ の焦点と準線を求めよ。

(2) 焦点が $(0, -\frac{1}{2})$ で、準線が $y = \frac{1}{2}$ である放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y^2 = 4px$ の焦点は $(p, 0)$ で、準線は $x = -p$ である。

与えられた放物線は $y^2 = 12x$ なので、$4p = 12$ より $p = 3$ である。

したがって、焦点は $(3, 0)$ で、準線は $x = -3$ である。

(2) 焦点が $(0, -\frac{1}{2})$ で、準線が $y = \frac{1}{2}$ である放物線を考える。

放物線上の点 $(x, y)$ から焦点までの距離と、準線までの距離は等しい。

焦点までの距離は $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{x^2 + (y + \frac{1}{2})^2}$ である。

準線までの距離は $|y - \frac{1}{2}|$ である。

したがって、

$\sqrt{x^2 + (y + \frac{1}{2})^2} = |y - \frac{1}{2}|$

両辺を2乗して、

$x^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2$

$x^2 + y^2 + y + \frac{1}{4} = y^2 - y + \frac{1}{4}$

$x^2 + y = -y$

$x^2 = -2y$

3. 最終的な答え

(1) 焦点は $(3, 0)$、準線は $x = -3$

(2) $x^2 = -2y$