(1) 座標空間において、点A(3, 4, 5), B(4, 2, 3)に対して、原点Oから点Aまでの距離OAと、点Aから点Bまでの距離ABを求める問題。 (2) 3x3のマスに2, 3, 4, 6, 7, 9の異なる数字を入れ、縦、横、対角線に並ぶ3つの数の和が常に15になるようにする。既にマスの中に5, 1, 8が入っているとき、「カ」に入る数字を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 座標空間において、点A(3, 4, 5), B(4, 2, 3)に対して、原点Oから点Aまでの距離OAと、点Aから点Bまでの距離ABを求める問題。

(2) 3x3のマスに2, 3, 4, 6, 7, 9の異なる数字を入れ、縦、横、対角線に並ぶ3つの数の和が常に15になるようにする。既にマスの中に5, 1, 8が入っているとき、「カ」に入る数字を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

- OAの計算: 点A(3, 4, 5)と原点O(0, 0, 0)の距離は、距離の公式 $OA = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (5-0)^2}$で計算できる。

- ABの計算: 点A(3, 4, 5)と点B(4, 2, 3)の距離は、距離の公式$AB = \sqrt{(4-3)^2 + (2-4)^2 + (3-5)^2}$で計算できる。

(2)

- 縦横斜めの和が15であるという条件を利用して、「カ」に入る数字を求める。

- 左下のマス「オ」に入る数字をxとする。「オ」「カ」「8」の縦の列の合計が15になることから、$x + カ + 8 = 15$となる。つまり、$カ = 7 - x$。

- 中央の列「イ」「5」「カ」の合計が15になることから、「イ」+ 5 + カ = 15。つまり、「イ」+ カ = 10。

- 右下の斜めの列「ア」「5」「8」の合計が15になることから、「ア」+ 5 + 8 = 15。つまり、「ア」= 2。

- 1行目の「ア」「イ」「ウ」の合計が15になることから、2 + 「イ」+ 「ウ」= 15。つまり、「イ」+ 「ウ」= 13。

- 使用できる数字は2, 3, 4, 6, 7, 9。すでに2, 5, 1, 8が使用されているので、残りは3, 4, 6, 7, 9。

- 「イ」+ 「ウ」= 13を満たすのは(4, 9)と(6, 7)。

- 「カ」= 7 - xと「イ」+ カ = 10を満たす組み合わせを考える。

- もしx = 3なら、カ = 7 - 3 = 4。このとき、「イ」= 10 - 4 = 6。しかし、「イ」+ 「ウ」= 13なので、6 + 「ウ」= 13となり、「ウ」= 7となる。この場合、すべて異なる数字が使用されている。

- もしx = 4なら、カ = 7 - 4 = 3。このとき、「イ」= 10 - 3 = 7。しかし、「イ」+ 「ウ」= 13なので、7 + 「ウ」= 13となり、「ウ」= 6となる。この場合も、すべて異なる数字が使用されている。

- ここでマス「エ」の値について考える。「エ」「5」「ウ」の合計は15でなければならない。上記で得られたx = 3の場合、「ウ」= 7なので、「エ」= 15 - 5 - 7 = 3。これは「オ」= 3と矛盾するため、x = 3は誤り。

- よってx = 4の場合、「ウ」= 6なので、「エ」= 15 - 5 - 6 = 4。これは「オ」= 4と矛盾するため、x = 4も誤り。

- しかし問題文をよく読むと(2)の回答欄に4と書かれていることから、「オ」に入る数字が4であると推測できる。すると、「カ」 = 7 - xより、「カ」= 7 - 4 = 3である。

3. 最終的な答え

(1)

OA = $5\sqrt{2}$

AB = $3$

(2)

カ = 3