半径 $r$ mの円形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ であることを示す問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの円形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

道の面積 $S$ は、外側の円の面積から内側の円の面積を引くことで求められます。

外側の円の半径は $r + a$ mなので、面積は $\pi (r+a)^2$ m$^2$です。

内側の円の半径は $r$ mなので、面積は $\pi r^2$ m$^2$です。

したがって、道の面積 $S$ は、

$S = \pi (r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi ar + \pi a^2$

一方、道の真ん中を通る円周の長さ $l$ は、半径が $r + \frac{a}{2}$ mの円周の長さなので、

$l = 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = 2\pi r + \pi a$

ここで、$al$ を計算すると、

$al = a(2\pi r + \pi a)$

$al = 2\pi ar + \pi a^2$

よって、$S = 2\pi ar + \pi a^2$ と $al = 2\pi ar + \pi a^2$ は等しいので、$S=al$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$S=al$