(1) 正弦の加法定理を用いて、$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$ が成り立つことを示す。 (2) 三角形ABCにおいて、$A = \frac{\pi}{3}$のとき、$\sin B + \sin C$ および $\cos B + \cos C$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 正弦の加法定理を用いて、$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$ が成り立つことを示す。

(2) 三角形ABCにおいて、$A = \frac{\pi}{3}$のとき、$\sin B + \sin C$ および $\cos B + \cos C$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

正弦の加法定理より、

$\sin(\frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}) = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}) = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

したがって、

$\sin\alpha = \sin(\frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}) = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\beta = \sin(\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}) = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

これらを足し合わせると、

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

(2)

三角形ABCの内角の和は$\pi$であるから、$A+B+C=\pi$。

$A = \frac{\pi}{3}$ より、$B+C = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$。

$C = \frac{2\pi}{3} - B$となる。

$\sin B + \sin C = \sin B + \sin (\frac{2\pi}{3} - B) = \sin B + \sin \frac{2\pi}{3}\cos B - \cos \frac{2\pi}{3}\sin B = \sin B + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos B - (-\frac{1}{2})\sin B = \frac{3}{2}\sin B + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos B = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\sin(B+\alpha) = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}\sin(B+\alpha) = \sqrt{3}\sin(B+\alpha)$

ただし、$\alpha$は$\cos \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ を満たす角であり、$\alpha = \frac{\pi}{6}$。

$0 < B < \frac{2\pi}{3}$ より、$\frac{\pi}{6} < B+\frac{\pi}{6} < \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$。

したがって、$\sin (B+\frac{\pi}{6})$ の範囲は $\sin \frac{\pi}{6} < \sin(B+\frac{\pi}{6}) \le 1$

つまり $\frac{1}{2} < \sin(B+\frac{\pi}{6}) \le 1$

ゆえに、$\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin B + \sin C \le \sqrt{3}$

$\cos B + \cos C = \cos B + \cos (\frac{2\pi}{3} - B) = \cos B + \cos \frac{2\pi}{3}\cos B + \sin \frac{2\pi}{3}\sin B = \cos B - \frac{1}{2}\cos B + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin B = \frac{1}{2}\cos B + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin B = \sin(B+\frac{\pi}{6})$

上で求めたように $\frac{\pi}{6} < B+\frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$。

したがって、$\sin\frac{\pi}{6} < \sin(B+\frac{\pi}{6}) \le 1$。

$\frac{1}{2} < \cos B + \cos C \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin B + \sin C \le \sqrt{3}$

$\frac{1}{2} < \cos B + \cos C \le 1$