図において、Iは三角形の内心である。$\alpha = 30^\circ$ のとき、$\beta$ はいくらか。

1. 問題の内容

図において、Iは三角形の内心である。$\alpha = 30^\circ$ のとき、$\beta$ はいくらか。

2. 解き方の手順

三角形の内心は、三角形の3つの内角の二等分線の交点です。

三角形の頂角 $\alpha$ の大きさが $30^\circ$ であるとき、内心Iにおける角 $\beta$ の大きさを求めます。

三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、残りの二つの角の和は $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ です。

内心Iは内角の二等分線の交点であるから、$\alpha$ に対する角の二等分線によって作られる角度は $\frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$ です。

残りの二つの角の二等分線によって作られる角度の和は、$\frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$ です。

したがって、$\beta$ は、

$\beta = 180^\circ - 75^\circ - 15^\circ$

$\beta = 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \alpha) - \frac{\alpha}{2}$

$\beta = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} + \frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$

$\beta = 90^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$

一般に、$\beta = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\beta = 105^\circ$