円 $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 4$ と直線 $y = ax+3$ が異なる2点で交わるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 4$ と直線 $y = ax+3$ が異なる2点で交わるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことです。

円 $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 4$ の中心は $(-4, 1)$ で、半径は $2$ です。

直線 $y = ax+3$ を変形して $ax - y + 3 = 0$ とします。

点 $(-4, 1)$ と直線 $ax - y + 3 = 0$ の距離 $d$ は、以下の式で表されます。

$d = \frac{|a(-4) - 1 + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4a+2|}{\sqrt{a^2+1}}$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < 2$ が成り立つ必要があります。

したがって、

$\frac{|-4a+2|}{\sqrt{a^2+1}} < 2$

$|-4a+2| < 2\sqrt{a^2+1}$

両辺を2乗します。

$(-4a+2)^2 < 4(a^2+1)$

$16a^2 - 16a + 4 < 4a^2 + 4$

$12a^2 - 16a < 0$

$4a(3a - 4) < 0$

$a(3a-4) < 0$

この不等式を解くと、$0 < a < \frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{4}{3}$