円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=CD=2$, $BC=3$, $\angle DAB = 120^\circ$ であるとき、対角線BDと辺ADの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=CD=2$, $BC=3$, $\angle DAB = 120^\circ$ であるとき、対角線BDと辺ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質より、$\angle BCD = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ である。

次に、$\triangle ABD$において、余弦定理を用いると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cdot \cos{\angle DAB}$

$BD^2 = 2^2 + AD^2 - 2 \cdot 2 \cdot AD \cdot \cos{120^\circ}$

$BD^2 = 4 + AD^2 - 4AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = AD^2 + 2AD + 4$ ...(1)

次に、$\triangle BCD$において、余弦定理を用いると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 13 - 6 = 7$ ...(2)

(1)と(2)より、

$AD^2 + 2AD + 4 = 7$

$AD^2 + 2AD - 3 = 0$

$(AD+3)(AD-1) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 1$

(1)に$AD = 1$を代入すると

$BD^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 + 4 = 7$

$BD = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

対角線BDの長さは$\sqrt{7}$

辺ADの長さは1