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直方体 ABCD-EFGH において、AD = AE = 1, AB = $\sqrt{3}$ であるとき、以下の内積を求めます。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CF}$ (4) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GE}$

幾何学ベクトル内積空間ベクトル
2025/6/17

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH において、AD = AE = 1, AB = 3\sqrt{3} であるとき、以下の内積を求めます。
(1) AB→⋅DC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}
(2) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
(3) AB→⋅CF→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CF}
(4) AD→⋅GE→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GE}

2. 解き方の手順

(1) AB→⋅DC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}
DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} なので、
AB→⋅DC→=AB→⋅AB→=∣AB→∣2=(3)2=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3
(2) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} と分解できます。
AB→⋅AC→=AB→⋅(AB→+BC→)=AB→⋅AB→+AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
AB→\overrightarrow{AB} と BC→\overrightarrow{BC} は直交するので、AB→⋅BC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
したがって、AB→⋅AC→=∣AB→∣2=(3)2=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3
(3) AB→⋅CF→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CF}
CF→=CB→+BF→=−BC→−AE→=−BC→−AD→\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}
AB→⋅CF→=AB→⋅(−BC→−AD→)=−AB→⋅BC→−AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} \cdot (-\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}) = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}
AB→\overrightarrow{AB} と BC→\overrightarrow{BC} は直交するので、AB→⋅BC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
AB→\overrightarrow{AB} と AD→\overrightarrow{AD} も直交するので、AB→⋅AD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0
したがって、AB→⋅CF→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CF} = 0
(4) AD→⋅GE→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GE}
GE→=GA→+AE→=−AG→+AE→=−AB→−BC→+AE→=−AB→−AD→+AD→−DH→=−AB→+AE→=−AB→−AD→\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}
AD→⋅GE→=AD→⋅(−AB→+AE→)=AD→⋅(−AB→)+AD→⋅(−BC→+BA→)=AD→⋅(−AB→−AE→)=−AD→⋅AB→−AD→⋅AE→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{AD} \cdot (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}) = \overrightarrow{AD} \cdot (-\overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{AD} \cdot (-\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{AD} \cdot (-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE}) = -\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AE}
AD→\overrightarrow{AD} と AB→\overrightarrow{AB} は直交するので、AD→⋅AB→=0\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0
AD→\overrightarrow{AD} と AE→\overrightarrow{AE} は直交するので、AD→⋅AE→=0\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AE} = 0
したがって、AD→⋅GE→=0\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GE} = 0

3. 最終的な答え

(1) AB→⋅DC→=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 3
(2) AB→⋅AC→=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3
(3) AB→⋅CF→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CF} = 0
(4) AD→⋅GE→=0\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GE} = 0

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