(4) $\sin A = \frac{3}{\sqrt{13}}$ のとき、$\cos A$ を求めよ。 (5) $\sin A = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$\tan A$ を求めよ。

1. 問題の内容

(4) $\sin A = \frac{3}{\sqrt{13}}$ のとき、$\cos A$ を求めよ。

(5) $\sin A = \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$\tan A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(4)

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ の関係を利用する。

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{\sqrt{13}})^2$

$\cos^2 A = 1 - \frac{9}{13}$

$\cos^2 A = \frac{13}{13} - \frac{9}{13}$

$\cos^2 A = \frac{4}{13}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{4}{13}}$

$\cos A = \pm \frac{2}{\sqrt{13}}$

$A$ が鋭角であると仮定すると、$\cos A > 0$ なので、$\cos A = \frac{2}{\sqrt{13}}$

(5)

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ の関係を利用する。

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos^2 A = 1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2$

$\cos^2 A = 1 - \frac{4}{5}$

$\cos^2 A = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

$\cos^2 A = \frac{1}{5}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

$\cos A = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$A$ が鋭角であると仮定すると、$\cos A > 0$ なので、$\cos A = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(4) $\cos A = \frac{2}{\sqrt{13}}$

(5) $\tan A = 2$