ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ とベクトル $\vec{b} = (1, 7)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を2等分するベクトルのうち、大きさが $\sqrt{10}$ のベクトル $\vec{u}$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ とベクトル $\vec{b} = (1, 7)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を2等分するベクトルのうち、大きさが $\sqrt{10}$ のベクトル $\vec{u}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を正規化して単位ベクトル $\vec{e_a}$ と $\vec{e_b}$ を求める。

$\vec{a}$ の大きさは $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\vec{b}$ の大きさは $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$\vec{e_a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

$\vec{e_b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, 7)}{5\sqrt{2}} = (\frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{7}{5\sqrt{2}})$

角の二等分線ベクトルは、単位ベクトルの和の定数倍で表される。

$\vec{e_a} + \vec{e_b} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{7}{5\sqrt{2}}) = (\frac{6}{5\sqrt{2}}, \frac{12}{5\sqrt{2}}) = (\frac{6\sqrt{2}}{10}, \frac{12\sqrt{2}}{10}) = (\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{6\sqrt{2}}{5})$

求めるベクトル $\vec{u}$ は、$\vec{e_a} + \vec{e_b}$ の定数倍で表され、その大きさが $\sqrt{10}$ である。

$\vec{u} = k (\vec{e_a} + \vec{e_b}) = k(\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{6\sqrt{2}}{5})$

$|\vec{u}| = \sqrt{10}$

$|\vec{u}| = |k| \sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{5})^2 + (\frac{6\sqrt{2}}{5})^2} = |k| \sqrt{\frac{18}{25} + \frac{72}{25}} = |k| \sqrt{\frac{90}{25}} = |k| \sqrt{\frac{18}{5}} = |k| \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = |k| \frac{3\sqrt{10}}{5}$

$\sqrt{10} = |k| \frac{3\sqrt{10}}{5}$

$1 = |k| \frac{3}{5}$

$|k| = \frac{5}{3}$

$k = \pm \frac{5}{3}$

したがって、

$\vec{u} = \pm \frac{5}{3} (\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{6\sqrt{2}}{5}) = \pm (\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\vec{u} = (\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$