問題は2つの部分から構成されています。 (1) 四角形ABCDが円に内接し、AB=2, BC=1, CD=3, $\cos \angle BCD = -\frac{1}{6}$のとき、ADの長さを求め、さらに四角形ABCDの面積を求めます。 (2) 四角形ABCDが円に内接し、BC=6, $\angle ABC = 60^\circ$, 面積が $39\sqrt{3}$であるとします。3点A, B, Cを頂点とする三角形の周の長さが36のとき、ACの長さと円の半径を求め、四角形ABCDの周の長さを求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 四角形ABCDが円に内接し、AB=2, BC=1, CD=3, $\cos \angle BCD = -\frac{1}{6}$のとき、ADの長さを求め、さらに四角形ABCDの面積を求めます。

(2) 四角形ABCDが円に内接し、BC=6, $\angle ABC = 60^\circ$, 面積が $39\sqrt{3}$であるとします。3点A, B, Cを頂点とする三角形の周の長さが36のとき、ACの長さと円の半径を求め、四角形ABCDの周の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いてBDの長さを求めます。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos \angle BCD$

$BD^2 = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{6}) = 1 + 9 + 1 = 11$

$BD = \sqrt{11}$

次に、四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD$です。

よって、$\cos \angle BAD = \cos (180^\circ - \angle BCD) = - \cos \angle BCD = \frac{1}{6}$です。

再び余弦定理を用いてADの長さを求めます。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$

$11 = 2^2 + AD^2 - 2 \cdot 2 \cdot AD \cdot \frac{1}{6}$

$11 = 4 + AD^2 - \frac{2}{3}AD$

$AD^2 - \frac{2}{3}AD - 7 = 0$

$3AD^2 - 2AD - 21 = 0$

$(3AD + 7)(AD - 3) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 3$

次に、四角形ABCDの面積を求めます。

四角形ABCDの面積は、三角形BCDの面積と三角形BADの面積の和です。

三角形BCDの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \angle BCD} = \frac{3}{2} \sqrt{1 - (\frac{-1}{6})^2} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{3\sqrt{35}}{12} = \frac{\sqrt{35}}{4}$

三角形BADの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAD} = 3 \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = 3 \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{3\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{2}$

四角形ABCDの面積は、$\frac{\sqrt{35}}{4} + \frac{\sqrt{35}}{2} = \frac{3\sqrt{35}}{4}$

(2)

三角形ABCにおいて、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC = AB^2 + 6^2 - 2 \cdot AB \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = AB^2 + 36 - 6AB$

$AC = \sqrt{AB^2 - 6AB + 36}$

また、$AB + BC + AC = 36$より、$AB + 6 + AC = 36$なので、$AC = 30 - AB$

$(30 - AB)^2 = AB^2 - 6AB + 36$

$900 - 60AB + AB^2 = AB^2 - 6AB + 36$

$864 = 54AB$

$AB = 16$

$AC = 30 - AB = 30 - 16 = 14$

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$

四角形ABCDの面積は、$39\sqrt{3}$なので、三角形ACDの面積は、$39\sqrt{3} - 24\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$です。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

三角形ACDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} AD \cdot CD = 15\sqrt{3}$

$AD \cdot CD = 60$

余弦定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos \angle ADC = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos 120^\circ = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD (-\frac{1}{2}) = AD^2 + CD^2 + AD \cdot CD$

$14^2 = 196 = AD^2 + CD^2 + 60$

$AD^2 + CD^2 = 136$

$(AD + CD)^2 = AD^2 + CD^2 + 2AD \cdot CD = 136 + 2 \cdot 60 = 136 + 120 = 256$

$AD + CD = 16$

$AD$と$CD$は、$t^2 - 16t + 60 = 0$の解です。

$(t - 6)(t - 10) = 0$

$t = 6, 10$

$AD = 6, CD = 10$または$AD = 10, CD = 6$

円の半径Rを求めるには、正弦定理を使います。

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\frac{14}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{28}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

四角形ABCDの周の長さは、$AB + BC + CD + AD = 16 + 6 + 6 + 10 = 38$

3. 最終的な答え

(1) AD = 3, 四角形ABCDの面積 = $\frac{3\sqrt{35}}{4}$

(2) AC = 14, 円の半径 = $\frac{14\sqrt{3}}{3}$, 四角形ABCDの周の長さ = 38