平面上の3点O, A, Bについて、 $|OA| = 4$, $|OB| = \sqrt{3}$, $OA \cdot OB = -6$ が成り立っている。このとき、$\angle AOB$ と $|OA + 2OB|$ を求める問題です。

1. 問題の内容

平面上の3点O, A, Bについて、 $|OA| = 4$, $|OB| = \sqrt{3}$, $OA \cdot OB = -6$ が成り立っている。このとき、$\angle AOB$ と $|OA + 2OB|$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AOB$ を求めます。ベクトルの内積の定義から、$OA \cdot OB = |OA||OB|\cos{\angle AOB}$ が成り立ちます。

与えられた値を代入すると、$-6 = 4\sqrt{3}\cos{\angle AOB}$ となります。

したがって、$\cos{\angle AOB} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ です。

$0 \le \angle AOB \le \pi$ なので、$\angle AOB = \frac{5}{6}\pi$ となります。

次に、$|OA + 2OB|$ を求めます。

$|OA + 2OB|^2 = (OA + 2OB) \cdot (OA + 2OB) = OA \cdot OA + 4OA \cdot OB + 4OB \cdot OB = |OA|^2 + 4(OA \cdot OB) + 4|OB|^2$

与えられた値を代入すると、

$|OA + 2OB|^2 = 4^2 + 4(-6) + 4(\sqrt{3})^2 = 16 - 24 + 12 = 4$ となります。

$|OA + 2OB| > 0$ なので、$|OA + 2OB| = \sqrt{4} = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$\angle AOB = \frac{5}{6}\pi$

$|OA + 2OB| = 2$