(1) 楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ の長軸の長さ、短軸の長さ、焦点を求める。 (2) 2点 $(0, 1)$, $(0, -1)$ を焦点とし、焦点からの距離の和が $4$ である楕円の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ の長軸の長さ、短軸の長さ、焦点を求める。

(2) 2点 $(0, 1)$, $(0, -1)$ を焦点とし、焦点からの距離の和が $4$ である楕円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

楕円の一般式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ である。

この楕円では $a^2 = 16$, $b^2 = 7$ なので、$a = 4$, $b = \sqrt{7}$ である。

長軸の長さは $2a = 2 \times 4 = 8$。

短軸の長さは $2b = 2\sqrt{7}$。

焦点の座標は $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ である。

$\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$ なので、焦点は $(\pm 3, 0)$ である。

(2)

焦点が $(0, 1)$, $(0, -1)$ なので、$y$軸上に焦点がある。

したがって、楕円の式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a < b$) となる。

焦点からの距離の和が $4$ であることから、$2b = 4$, $b = 2$。

焦点の座標は $(0, \pm \sqrt{b^2 - a^2})$ であり、$\sqrt{b^2 - a^2} = 1$ となる。

$b^2 - a^2 = 1$, $4 - a^2 = 1$, $a^2 = 3$。

よって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$。

3. 最終的な答え

(1)

長軸の長さ: $8$

短軸の長さ: $2\sqrt{7}$

焦点: $(3, 0)$, $(-3, 0)$

(2)

楕円の方程式: $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$