3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。 (1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) (2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

1. 問題の内容

3点A, B, Cを通る円の方程式を求める問題です。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0)

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

各点の座標を代入して、l, m, nに関する連立方程式を作る。

A(1, 1)を代入: $1^2 + 1^2 + l(1) + m(1) + n = 0$ -> $l + m + n = -2$

B(2, 1)を代入: $2^2 + 1^2 + l(2) + m(1) + n = 0$ -> $2l + m + n = -5$

C(-1, 0)を代入: $(-1)^2 + 0^2 + l(-1) + m(0) + n = 0$ -> $-l + n = -1$

連立方程式を解く:

$l + m + n = -2$ (1)

$2l + m + n = -5$ (2)

$-l + n = -1$ (3)

(2) - (1): $l = -3$

(3)に代入: $-(-3) + n = -1$ -> $n = -4$

(1)に代入: $-3 + m - 4 = -2$ -> $m = 5$

よって、$x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

標準形に変形: $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 4 = \frac{34}{4} + \frac{16}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$

(2)

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

各点の座標を代入して、l, m, nに関する連立方程式を作る。

A(1, 3)を代入: $1^2 + 3^2 + l(1) + m(3) + n = 0$ -> $l + 3m + n = -10$

B(5, -5)を代入: $5^2 + (-5)^2 + l(5) + m(-5) + n = 0$ -> $5l - 5m + n = -50$

C(4, 2)を代入: $4^2 + 2^2 + l(4) + m(2) + n = 0$ -> $4l + 2m + n = -20$

連立方程式を解く:

$l + 3m + n = -10$ (1)

$5l - 5m + n = -50$ (2)

$4l + 2m + n = -20$ (3)

(2) - (1): $4l - 8m = -40$ -> $l - 2m = -10$ (4)

(3) - (1): $3l - m = -10$ (5)

(5) - 3*(4): $3l - m - 3(l - 2m) = -10 - 3(-10)$

$3l - m - 3l + 6m = -10 + 30$

$5m = 20$ -> $m = 4$

(4)に代入: $l - 2(4) = -10$ -> $l = -2$

(1)に代入: $-2 + 3(4) + n = -10$ -> $n = -10 + 2 - 12 = -20$

よって、$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

標準形に変形: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 + 20 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$

(2) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$