AB = AC = 15 の二等辺三角形 ABC において、重心を G、内心を I、外心を O、垂心を H とし、AG = 8 とする。 (1) 辺 BC の中点を M とするとき、AM の長さと、辺 BC の長さを求める。 (2) 内心 I について、AI の長さ、BI の長さ、および内接円の半径 r を求める。 (3) 外心 O について、AO の長さを求める。 (4) 垂心 H について、直線 BH と辺 AC の交点を L とするとき、AL の長さと AH の長さを求める。

1. 問題の内容

AB = AC = 15 の二等辺三角形 ABC において、重心を G、内心を I、外心を O、垂心を H とし、AG = 8 とする。

(1) 辺 BC の中点を M とするとき、AM の長さと、辺 BC の長さを求める。

(2) 内心 I について、AI の長さ、BI の長さ、および内接円の半径 r を求める。

(3) 外心 O について、AO の長さを求める。

(4) 垂心 H について、直線 BH と辺 AC の交点を L とするとき、AL の長さと AH の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

二等辺三角形 ABC において、M は BC の中点なので、AM は BC の垂直二等分線となる。

したがって、三角形 ABM は直角三角形となる。

三平方の定理より、$AM^2 + BM^2 = AB^2$ が成り立つ。

重心 G は中線 AM 上にあり、$AG : GM = 2 : 1$ であるから、$AM = \frac{3}{2} AG = \frac{3}{2} \times 8 = 12$。

よって、$12^2 + BM^2 = 15^2$ より、$144 + BM^2 = 225$。

$BM^2 = 225 - 144 = 81$ なので、$BM = 9$。

したがって、$BC = 2 \times BM = 2 \times 9 = 18$。

(2)

内接円の半径を r とする。

三角形 ABC の面積 S は、$S = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$。

また、三角形 ABC の面積は、$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA) = \frac{1}{2}r(15 + 18 + 15) = \frac{1}{2}r(48) = 24r$。

よって、$24r = 108$ より、$r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2}$。

次に、角 B の二等分線と AM の交点を I とすると、BI は角 B の二等分線なので、三角形 BMI は直角三角形である。

$BI = \sqrt{BM^2 + IM^2}$

$IM = AM - AI$

$AI = \frac{AM}{\sin(\frac{B}{2})} = \frac{12}{\sin(\frac{B}{2})}$

$\sin(\frac{B}{2}) = \frac{r}{BI}$

$\sin(B) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

$\cos(B) = \frac{BM}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

$\sin(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(B)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$AI = \frac{12}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{60}{\sqrt{5}} = \frac{60 \sqrt{5}}{5} = 12\sqrt{5}$

$BI = \frac{r}{\sin(\frac{B}{2})} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{45}{2\sqrt{5}} = \frac{45\sqrt{5}}{10} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$

(3)

外接円の半径を R とする。正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$。

$\sin A = \frac{BC \cdot AM}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC} = \frac{18 \cdot 12}{\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15} = \frac{216}{112.5}$

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{15^2 + 15^2 - 18^2}{2 \cdot 15 \cdot 15} = \frac{225 + 225 - 324}{450} = \frac{126}{450} = \frac{63}{225} = \frac{7}{25}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より

$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$

$2R = \frac{18}{\frac{24}{25}} = \frac{18 \cdot 25}{24} = \frac{3 \cdot 25}{4} = \frac{75}{4}$

$R = AO = \frac{75}{8}$

(4)

AL = x とすると、三角形 ABL と三角形 CBH が相似であることから、垂心Hは三角形の各頂点から対辺またはその延長線上に下ろした垂線の交点である。

メネラウスの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

$\frac{AM}{MB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$\frac{AL}{LC} = \frac{AL}{AC - AL} = \frac{AL}{15 - AL}$

AM は BC の中線、BL は AC の中線とすると、$AL = \frac{4}{5}$

$AL = \frac{AC}{2}$だから、$AL = \frac{9}{25} = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) AM = 12, BC = 18

(2) AI = $12\sqrt{5}$, BI = $\frac{9\sqrt{5}}{2}$, r = $\frac{9}{2}$

(3) AO = $\frac{75}{8}$

(4) AL = $\frac{225}{34}$, AH = 25/4