AB = AC = 15である二等辺三角形ABCにおいて、重心をG、内心をI、外心をO、垂心をHとする。AG = 8である。 (1) 辺BCの中点をMとするとき、AMとBCの長さを求める。 (2) 内心Iについて、AI、BI、内接円の半径rを求める。 (3) 外心Oについて、AOを求める。 (4) 垂心Hについて、直線BHと辺ACの交点をLとするとき、ALとAHを求める。

1. 問題の内容

AB = AC = 15である二等辺三角形ABCにおいて、重心をG、内心をI、外心をO、垂心をHとする。AG = 8である。

(1) 辺BCの中点をMとするとき、AMとBCの長さを求める。

(2) 内心Iについて、AI、BI、内接円の半径rを求める。

(3) 外心Oについて、AOを求める。

(4) 垂心Hについて、直線BHと辺ACの交点をLとするとき、ALとAHを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、AMを求める。

三角形ABMは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より $AM^2 + BM^2 = AB^2$ が成り立つ。

重心GがAM上にあるので、AG:GM = 2:1となる。AG = 8より、AM = AG + GM = 8 + 4 = 12。

よって、AM = 12。

$AM^2 + BM^2 = AB^2$ より、

$12^2 + BM^2 = 15^2$

$144 + BM^2 = 225$

$BM^2 = 81$

$BM = 9$

したがって、BC = 2 * BM = 2 * 9 = 18。

(2)

AIを求める。内接円の半径をrとすると、面積Sは $S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA) = \frac{1}{2}r(15 + 18 + 15) = \frac{1}{2}r(48) = 24r$ である。

また、Sは $S = \frac{1}{2} * BC * AM = \frac{1}{2} * 18 * 12 = 108$ でもある。

したがって、$24r = 108$ より、$r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4.5$。

三角形AIMは直角三角形なので、$AI^2 = AM^2 + IM^2$ではない。

$AI = \sqrt{AM^2 + IM^2} = \sqrt{AM^2 + r^2}$

内接円の中心から$BC$への距離は$r= \frac{9}{2}$である。内接円の中心をIとすると、三角形IBCの面積は$\frac{1}{2}BC \times r$である。

$BI = \sqrt{BM^2 + IM^2}= \sqrt{9^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{81 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{324 + 81}{4}} = \sqrt{\frac{405}{4}} = \sqrt{\frac{81*5}{4}} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$

$\triangle{ABC}$の面積は$\frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$.

ここで内接円の半径をrとする。

$\frac{1}{2}r(15+15+18)= 24r = 108$, よって$r = \frac{9}{2}$.

$AI = \sqrt{r^2 + (12-r)^2}$ではない.

$AI = \frac{AM -r}{\cos \theta}$は使えない

$\sin{\angle{BAI}} = r/AB = \frac{9/2}{15} = \frac{3}{10}$

$AI = \frac{r}{\sin{\angle{BAI}}} = \frac{9/2}{3/10} = \frac{9}{2} \times \frac{10}{3} = 15$

(3)

外心Oについて、AOを求める。

外接円の半径をRとすると、$R = \frac{abc}{4S}$。$a = 15, b = 15, c = 18, S = 108$ より、$R = \frac{15 * 15 * 18}{4 * 108} = \frac{15 * 15 * 18}{4 * 18 * 6} = \frac{15 * 15}{4 * 6} = \frac{225}{24} = \frac{75}{8}$。

したがって、AO = R = 75/8。

(4)

垂心Hについて、直線BHと辺ACの交点をLとすると、ALとAHを求める。

垂心は各頂点から対辺に下ろした垂線の交点なので、BLはACへの垂線である。

三角形ABLは直角三角形なので、$\frac{AL}{AB} = \cos A$。

$\cos A = \frac{15^2 + 15^2 - 18^2}{2 * 15 * 15} = \frac{225 + 225 - 324}{450} = \frac{126}{450} = \frac{63}{225} = \frac{7}{25}$

したがって、AL = AB * cos A = 15 * 7/25 = 3 * 7/5 = 21/5。

AHを求める。垂心Hは、頂点から対辺に下ろした垂線の交点である。

AH:HM = ?:?

$AH = \frac{4}{3}AM = \frac{16}{3}$

$\frac{2}{3}AM$

$AH = \frac{25*4}{4*2} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$

3. 最終的な答え

(1) AM = 12, BC = 18

(2) AI = 15, BI = $\frac{9\sqrt{5}}{2}$, r = $\frac{9}{2}$

(3) AO = $\frac{75}{8}$

(4) AL = $\frac{21}{5}$, AH = 16