$AB = AC = 15$ の二等辺三角形$ABC$の重心を$G$、内心を$I$、外心を$O$、垂心を$H$とし、$AG = 8$とします。 (1) 辺$BC$の中点を$M$とするとき、$AM$と$BC$の長さを求めます。 (2) 内心$I$について、$AI$, $BI$, 内接円の半径$r$を求めます。 (3) 外心$O$について、$AO$を求めます。 (4) 垂心$H$について、直線$BH$と辺$AC$の交点を$L$とするとき、$AL$と$AH$を求めます。

はい、数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

$AB = AC = 15$ の二等辺三角形$ABC$の重心を$G$、内心を$I$、外心を$O$、垂心を$H$とし、$AG = 8$とします。

(1) 辺$BC$の中点を$M$とするとき、$AM$と$BC$の長さを求めます。

(2) 内心$I$について、$AI$, $BI$, 内接円の半径$r$を求めます。

(3) 外心$O$について、$AO$を求めます。

(4) 垂心$H$について、直線$BH$と辺$AC$の交点を$L$とするとき、$AL$と$AH$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $AM$の長さについて：

$AG:GM = 2:1$であり、$AG = 8$なので、$GM = 4$。したがって、$AM = AG + GM = 8 + 4 = 12$

$AM$は$BC$の垂直二等分線なので、$AM$と$BC$は直交します。

$\triangle ABM$において、ピタゴラスの定理より、$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$

$M$は$BC$の中点なので、$BC = 2 \times BM = 2 \times 9 = 18$

(2) 内心$I$について：

内接円の半径を$r$とすると、$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2} BC \times AM = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 108$

$\triangle ABC$の面積は、$\frac{1}{2}r(AB + BC + CA) = \frac{1}{2}r(15 + 18 + 15) = \frac{1}{2}r(48) = 24r$

よって、$24r = 108$から$r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2}$

$\triangle BMI$において、ピタゴラスの定理より、$BI = \sqrt{BM^2 + IM^2} = \sqrt{9^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{81 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{324+81}{4}} = \sqrt{\frac{405}{4}} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$

$AI$の長さについて：

$AM = 12$であり、$IM=r = \frac{9}{2}$なので、$AI = AM - IM = 12 - \frac{9}{2} = \frac{24 - 9}{2} = \frac{15}{2}$

(3) 外心$O$について：

$AO = R$とおくと、$R = \frac{abc}{4S} = \frac{15 \times 15 \times 18}{4 \times 108} = \frac{15 \times 15 \times 18}{4 \times 108} = \frac{15 \times 15}{4 \times 6} = \frac{225}{24} = \frac{75}{8}$

(4) 垂心$H$について：

$AH = 2OM$ という性質を利用します。

$OM = AM - AO = 12 - \frac{75}{8} = \frac{96 - 75}{8} = \frac{21}{8}$

$AH = 2 OM = 2 \times \frac{21}{8} = \frac{21}{4}$

直線$BH$と辺$AC$の交点を$L$とすると、$AL = \frac{AB^2}{AC} = \frac{BC}{2} = 9$

3. 最終的な答え

(1) $AM = 12$, $BC = 18$

(2) $AI = \frac{15}{2}$, $BI = \frac{9\sqrt{5}}{2}$, $r = \frac{9}{2}$

(3) $AO = \frac{75}{8}$

(4) $AL = 9$, $AH = \frac{21}{4}$