立方体ABCD-EFGHにおいて、与えられたベクトルの組が一次独立であるか、一次従属であるかを判定する問題です。一次独立な場合は〇、一次従属な場合は×を括弧の中に記入します。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHにおいて、与えられたベクトルの組が一次独立であるか、一次従属であるかを判定する問題です。一次独立な場合は〇、一次従属な場合は×を括弧の中に記入します。

2. 解き方の手順

ベクトルの一次独立性・従属性は、あるベクトルが他のベクトルの線形結合で表せるかどうかで判断します。

* **{AB, AD}**: $\vec{AB}$と$\vec{AD}$は同一平面上にあり、平行でないため、一次独立です。

* **{EF, EC}**: $\vec{EF}$と$\vec{EC}$は同一平面上にあり、平行でないため、一次独立です。

* **{AE, GC}**: $\vec{AE}$と$\vec{GC}$は平行なので、一次従属です。$\vec{GC} = \vec{AE}$

* **{AB, CE}**: $\vec{AB}$と$\vec{CE}$は同一平面上にないため、一次独立です。

* **{AB, AD, AE}**: $\vec{AB}$、$\vec{AD}$、$\vec{AE}$は互いに直交しており、空間の基底となるため、一次独立です。

* **{AB, AC, AD}**: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$なので、$\vec{AC}$は$\vec{AB}$と$\vec{AD}$の線形結合で表せるため、一次従属です。

* **{AB, AB, AF}**: $\vec{AB}$と$\vec{AB}$は同じベクトルなので、一次従属です。

* **{AB, AG, AF}**: $\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CG}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AE}$、$\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}=\vec{AB}+\vec{AE}$なので、$\vec{AG}$、$\vec{AF}$は$\vec{AB}$、$\vec{AD}$、$\vec{AE}$の線形結合で表せ、$\vec{AD}$について解くと$\vec{AD}=\vec{AG}-\vec{AF}$となります。したがって一次従属です。

* **{AG, EF, FG}**: $\vec{AG} = \vec{AE} + \vec{EF} + \vec{FG}$なので、$\vec{AG}$は$\vec{EF}$と$\vec{FG}$と$\vec{AE}$の線形結合で表せるため、一次従属です。

* **{AC, BF, EC}**: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}=\vec{AB} + \vec{AD}$、$\vec{BF} = \vec{AE}$、$\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC}=-\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{AD}$。したがって$\vec{AC}$、$\vec{BF}$、$\vec{EC}$は$\vec{AB}$、$\vec{AD}$、$\vec{AE}$の線形結合で表せるため、一次従属です。

3. 最終的な答え

* {AB, AD} (〇)

* {EF, EC} (〇)

* {AE, GC} (×)

* {AB, CE} (〇)

* {AB, AD, AE} (〇)

* {AB, AC, AD} (×)

* {AB, AB, AF} (×)

* {AB, AG, AF} (×)

* {AG, EF, FG} (×)

* {AC, BF, EC} (×)