2つの円 $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ と $x^2 + y^2 = 4$ の交点と、点 $(1, 1)$ を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ と $x^2 + y^2 = 4$ の交点と、点 $(1, 1)$ を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 + k(x^2 + y^2 - 4) = 0$

この円が点 $(1, 1)$ を通るので、$x = 1$, $y = 1$ を代入して $k$ の値を求める。

$1^2 + 1^2 - 8(1) - 4(1) + 4 + k(1^2 + 1^2 - 4) = 0$

$1 + 1 - 8 - 4 + 4 + k(1 + 1 - 4) = 0$

$-6 - 2k = 0$

$-2k = 6$

$k = -3$

求めた $k = -3$ を円の方程式に代入して、整理する。

$x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 - 3(x^2 + y^2 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 - 3x^2 - 3y^2 + 12 = 0$

$-2x^2 - 2y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$

$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$