直線 $l: y = -x + 4$ に対して、点 $A(3, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -x + 4$ に対して、点 $A(3, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線を求めます。直線 $l$ の傾きは $-1$ なので、この垂直な直線の傾きは $1$ になります。点 $A(3, 5)$ を通る傾き $1$ の直線の方程式は、

$y - 5 = 1(x - 3)$

$y = x + 2$

となります。

次に、この直線と直線 $l$ の交点を求めます。連立方程式

$y = -x + 4$

$y = x + 2$

を解きます。$x + 2 = -x + 4$ より、$2x = 2$ なので、$x = 1$ となり、$y = 1 + 2 = 3$ となります。したがって、交点は $(1, 3)$ です。

この交点を点 $M$ とします。点 $M$ は点 $A$ と点 $B$ の中点なので、点 $B$ の座標を $(x, y)$ とすると、

$\frac{3 + x}{2} = 1$

$\frac{5 + y}{2} = 3$

となります。これらの式を解くと、

$3 + x = 2$ より $x = -1$

$5 + y = 6$ より $y = 1$

したがって、点 $B$ の座標は $(-1, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(-1, 1)$