ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (1, 7)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を2等分するベクトルのうち、大きさが $\sqrt{10}$ のベクトル $\vec{u}$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 1)$ と $\vec{b} = (1, 7)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を2等分するベクトルのうち、大きさが $\sqrt{10}$ のベクトル $\vec{u}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の単位ベクトル $\vec{e_a}$ と $\vec{e_b}$ を求める。

$\vec{a} = (1, 1)$ より、 $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

よって、$\vec{e_a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

$\vec{b} = (1, 7)$ より、 $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

よって、$\vec{e_b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, 7)}{5\sqrt{2}} = (\frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{7}{5\sqrt{2}})$

$\vec{e_a} + \vec{e_b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を2等分するベクトルである。

$\vec{e_a} + \vec{e_b} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{7}{5\sqrt{2}}) = (\frac{6}{5\sqrt{2}}, \frac{12}{5\sqrt{2}}) = (\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{6\sqrt{2}}{5})$

$\vec{u}$ は $\vec{e_a} + \vec{e_b}$ と同じ方向を向くベクトルなので、$\vec{u} = k (\vec{e_a} + \vec{e_b})$ と表せる。

ここで、$k$ は正の実数である。

$\vec{u} = (k \frac{3\sqrt{2}}{5}, k \frac{6\sqrt{2}}{5})$

$|\vec{u}| = \sqrt{(k \frac{3\sqrt{2}}{5})^2 + (k \frac{6\sqrt{2}}{5})^2} = \sqrt{k^2 \frac{18}{25} + k^2 \frac{72}{25}} = \sqrt{k^2 \frac{90}{25}} = \sqrt{k^2 \frac{18}{5}} = k \sqrt{\frac{18}{5}} = k \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = k \frac{3\sqrt{10}}{5}$

$|\vec{u}| = \sqrt{10}$ より、

$k \frac{3\sqrt{10}}{5} = \sqrt{10}$

$k = \frac{5}{3}$

したがって、$\vec{u} = \frac{5}{3} (\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{6\sqrt{2}}{5}) = (\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\vec{u} = (\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$