異なる3つの複素数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$の間に、等式 $2\gamma - (1 + \sqrt{3}i)\beta = (1 - \sqrt{3}i)\alpha$ が成り立つとき、3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$の3つの角の大きさを求める。

1. 問題の内容

異なる3つの複素数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$の間に、等式 $2\gamma - (1 + \sqrt{3}i)\beta = (1 - \sqrt{3}i)\alpha$ が成り立つとき、3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$の3つの角の大きさを求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式を変形し、複素数平面における三角形の形状を考察する。

まず、与えられた等式を$\gamma$について解く：

$2\gamma = (1-\sqrt{3}i)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta$

$\gamma = \frac{(1-\sqrt{3}i)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta}{2}$

次に、$\gamma - \alpha$と$\beta - \alpha$の比を計算する：

$\gamma - \alpha = \frac{(1-\sqrt{3}i)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta}{2} - \alpha$

$\gamma - \alpha = \frac{(1-\sqrt{3}i - 2)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta}{2}$

$\gamma - \alpha = \frac{(-1-\sqrt{3}i)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta}{2}$

$\gamma - \alpha = \frac{(1+\sqrt{3}i)(\beta-\alpha)}{2}$

したがって、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} = \frac{2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = e^{i\frac{\pi}{3}}$

これは、$\beta$を$\alpha$を中心に$\frac{\pi}{3}$回転させると$\gamma$になることを意味する。

すなわち、$\angle BAC = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

次に、

$\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\frac{(1-\sqrt{3}i)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta}{2}-\beta}{\alpha - \beta}$

$= \frac{(1-\sqrt{3}i)\alpha + (1+\sqrt{3}i)\beta -2\beta}{2(\alpha - \beta)} = \frac{(1-\sqrt{3}i)\alpha + (-1+\sqrt{3}i)\beta}{2(\alpha - \beta)}$

$= \frac{(1-\sqrt{3}i)(\alpha - \beta)}{2(\alpha - \beta)} = \frac{1-\sqrt{3}i}{2} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = e^{-i\frac{\pi}{3}}$

$\angle ABC = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

したがって、$\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$

$\triangle ABC$は正三角形。

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$