2直線 $2x - 3y - 3 = 0$ と $ax + 2y - 4 = 0$ が垂直に交わるように、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2直線 $2x - 3y - 3 = 0$ と $ax + 2y - 4 = 0$ が垂直に交わるように、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2直線が垂直に交わる条件は、それぞれの直線の傾きの積が -1 になることです。まず、与えられた2つの直線の方程式を傾きと切片の形に変形します。

直線 $2x - 3y - 3 = 0$ を $y$ について解くと、

$3y = 2x - 3$

$y = \frac{2}{3}x - 1$

よって、この直線の傾きは $\frac{2}{3}$ です。

次に、直線 $ax + 2y - 4 = 0$ を $y$ について解くと、

$2y = -ax + 4$

$y = -\frac{a}{2}x + 2$

よって、この直線の傾きは $-\frac{a}{2}$ です。

2直線が垂直に交わる条件から、傾きの積は -1 なので、

$\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = -1$

$-\frac{a}{3} = -1$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$