点A(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

接点を $(x_1, y_1)$ とすると、接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 10$ となる。

この接線が点A(2, 4)を通るので、

$2x_1 + 4y_1 = 10$

$x_1 + 2y_1 = 5$

$x_1 = 5 - 2y_1$

また、接点 $(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点であるから、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$

$(5 - 2y_1)^2 + y_1^2 = 10$

$25 - 20y_1 + 4y_1^2 + y_1^2 = 10$

$5y_1^2 - 20y_1 + 15 = 0$

$y_1^2 - 4y_1 + 3 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 3) = 0$

$y_1 = 1, 3$

$y_1 = 1$ のとき、$x_1 = 5 - 2(1) = 3$

接点は (3, 1) であり、接線の方程式は $3x + y = 10$

$y_1 = 3$ のとき、$x_1 = 5 - 2(3) = -1$

接点は (-1, 3) であり、接線の方程式は $-x + 3y = 10$

3. 最終的な答え

接線の方程式：$3x + y = 10$、接点の座標：(3, 1)

接線の方程式：$-x + 3y = 10$、接点の座標：(-1, 3)