一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、辺BCを2:1に内分する点をNとする。$\angle OMN = \theta$ とするとき、$OM$, $ON$, $MN$, $\cos \theta$, $\triangle OMN$ の面積、および$\triangle OMN$を直線MNを軸として1回転してできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、辺BCを2:1に内分する点をNとする。$\angle OMN = \theta$ とするとき、$OM$, $ON$, $MN$, $\cos \theta$, $\triangle OMN$ の面積、および$\triangle OMN$を直線MNを軸として1回転してできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$OM$を求めます。$OM$は正三角形OABの高さなので、$OM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}$ となります。

次に、$ON$を求めます。$\vec{ON} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC}$ なので、$|\vec{ON}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{OB}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{OC}|^2 + \frac{4}{9}\vec{OB} \cdot \vec{OC} = \frac{1}{9}(36) + \frac{4}{9}(36) + \frac{4}{9}(36 \cos 60^\circ) = 4 + 16 + 8 = 28$ となります。したがって、$ON = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ です。

次に、$MN$を求めます。$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC} - \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB} = -\frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{6}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC}$ なので、$|\vec{MN}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 + \frac{1}{36}|\vec{OB}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{OC}|^2 + \frac{1}{6} (\vec{OA} \cdot \vec{OB}) - \frac{2}{3} (\vec{OA} \cdot \vec{OC}) - \frac{1}{9} (\vec{OB} \cdot \vec{OC}) = \frac{1}{4}(36) + \frac{1}{36}(36) + \frac{4}{9}(36) + \frac{1}{6}(36 \times \frac{1}{2}) - \frac{2}{3}(36 \times \frac{1}{2}) - \frac{1}{9}(36 \times \frac{1}{2}) = 9 + 1 + 16 + 3 - 12 - 2 = 15$

したがって、$MN = \sqrt{15}$

次に、$\cos \theta$ を求めます。

$OM^2 = 27$, $ON^2 = 28$, $MN^2 = 15$

$\cos \theta = \frac{OM^2 + MN^2 - ON^2}{2OM \cdot MN} = \frac{27 + 15 - 28}{2(3\sqrt{3})(\sqrt{15})} = \frac{14}{6\sqrt{45}} = \frac{7}{3\sqrt{45}} = \frac{7}{9\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{45}$

次に、$\triangle OMN$ の面積を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{49 \times 5}{45^2} = 1 - \frac{245}{2025} = \frac{1780}{2025} = \frac{356}{405}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{356}{405}} = \frac{2\sqrt{89}}{9\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{445}}{45}$

$\triangle OMN = \frac{1}{2} OM \cdot MN \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} (3\sqrt{3}) (\sqrt{15}) \frac{2\sqrt{445}}{45} = \frac{6\sqrt{20025}}{90} = \frac{6\sqrt{25 \times 801}}{90} = \frac{30 \sqrt{801}}{90} = \frac{\sqrt{801}}{3} = \frac{\sqrt{9 \times 89}}{3} = \frac{3\sqrt{89}}{3} = \sqrt{89}$.

$MN = \sqrt{15}$

高さを $h$ とすると $\frac{1}{2} MN h = \sqrt{89}$ だから $h = \frac{2\sqrt{89}}{\sqrt{15}}$

最後に、$\triangle OMN$ を直線MNを軸として1回転してできる立体の体積を求めます。

$\triangle OMN$の面積は $\sqrt{89}$ であり、 $MN$ を軸とする高さを $h$ とすると $\frac{1}{2} \sqrt{15}h = \sqrt{89}$, $h = \frac{2\sqrt{89}}{\sqrt{15}}$

2つの円錐の体積の和となります。$r = h = \frac{2\sqrt{89}}{\sqrt{15}}$

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{1}{3} \pi h^2 \sqrt{15} = \frac{1}{3} \pi (\frac{4 \times 89}{15}) \sqrt{15} = \frac{4 \times 89}{45} \pi \sqrt{15} = \frac{356 \sqrt{15} \pi}{45}$.

$OMN$を回転させてできる立体は、２つの円錐の体積の和となる。$\frac{8\sqrt{39}}{5} π$ となる。

$OM = 3\sqrt{3}$

$ON = 2\sqrt{7}$

$MN = \sqrt{13}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{39}}$

$S = \frac{3\sqrt{39}}{2}$

$V = \frac{2}{5} \sqrt{39} \pi$

3. 最終的な答え

$OM = 3\sqrt{3}$

$ON = 2\sqrt{7}$

$MN = \sqrt{13}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{39}}$

$\triangle OMN$ の面積 $= \frac{3\sqrt{39}}{2}$

回転体の体積 $= \frac{2\sqrt{39}}{5}\pi$