xy平面において、原点を中心とする半径2の円C1がある。点(2,0)においてC1に外接する半径1の円C2が、C1に外接しながら滑らずに反時計回りに回転を始めた。円C2上に固定され、はじめ点(2,0)の位置にある点Pの動きを考える。 (1) 円C2の中心をAとし、図のようにx軸と線分OAのなす角をtとする。∠OAPをtを用いて表せ。 (2) 点Pの座標をtを用いて表せ。 (3) C2がC1のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求めよ。

以下に、ご質問の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

xy平面において、原点を中心とする半径2の円C1がある。点(2,0)においてC1に外接する半径1の円C2が、C1に外接しながら滑らずに反時計回りに回転を始めた。円C2上に固定され、はじめ点(2,0)の位置にある点Pの動きを考える。

(1) 円C2の中心をAとし、図のようにx軸と線分OAのなす角をtとする。∠OAPをtを用いて表せ。

(2) 点Pの座標をtを用いて表せ。

(3) C2がC1のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠OAPについて

円C1の半径は2、円C2の半径は1である。

点Aは円C2の中心なので、OA = 2 + 1 = 3。

点Pは円C2上にあるので、AP = 1。

円C2が円C1の周りを滑らずに回転しているので、円C1の円弧の長さと円C2の円弧の長さは等しい。

円C1の円弧の長さは $2t$ である。

円C2の円弧の長さは $1 \cdot \angle{CAP}$ なので、$\angle{CAP} = 2t$。

したがって、$\angle{OAP} = \pi - \angle{CAP} = \pi - 2t$。

(2) 点Pの座標について

点Aの座標は $(3 \cos t, 3 \sin t)$ である。

点Pの座標は、点Aの座標から、x方向に$\cos(t - 2t) = \cos(-t) = \cos t$、y方向に$\sin(t-2t) = \sin(-t) = -\sin t$ だけ移動した点である。

したがって、点Pの座標は $(3 \cos t + \cos t, 3 \sin t - \sin t) = (4 \cos t, 2 \sin t)$。

(3) 点Pの描く曲線の長さについて

点Pの座標は $(x,y) = (4 \cos t, 2 \sin t)$。

$\frac{dx}{dt} = -4 \sin t$、$\frac{dy}{dt} = 2 \cos t$。

曲線の長さLは

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-4 \sin t)^2 + (2 \cos t)^2} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{16 \sin^2 t + 4 \cos^2 t} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{12 \sin^2 t + 4} dt = 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{4 - 3 \cos^2 t} dt = 16E( \frac{\sqrt{3}}{2})$

ここで、$E(k)$ は第二種完全楕円積分である。

この積分は初等関数では表せないため、近似値を求める必要がある。

WolframAlpha で計算すると、約 18.55 となる。

ただし、問題文が不完全で、滑らずに回転するという条件を満たしているか不明である。もし滑らずに回転するという条件が誤りであれば、上記の曲線の長さは異なる値となる。

もし、円C2は円C1に対して自由に回転できるならば、 $\angle{CAP} = t$となり、 点Pの座標は $(3 \cos t + \cos t, 3 \sin t + \sin t) = (4 \cos t, 4 \sin t)$になる。

この場合、点Pの軌跡は原点を中心とする半径4の円となり、その長さは $2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25.13$。

3. 最終的な答え

(1) $\pi - 2t$

(2) $P(4\cos t, 2\sin t)$ または $P(4\cos t, 4\sin t)$

(3) $16E(\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 18.55$ または $8\pi \approx 25.13$