原点Oを中心とする半径2の円$C_1$に、点(2,0)で外接する半径1の円$C_2$が、$C_1$に外接しながら滑らずに反時計回りに回転する。円$C_2$上に固定された点Pの動きを考える。 (1) 円$C_2$の中心をAとし、$x$軸と線分OAのなす角を$t$とするとき、$\angle OAP$を$t$を用いて表す。 (2) 点Pの座標を$t$を用いて表す。 (3) $C_2$が$C_1$のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円$C_1$に、点(2,0)で外接する半径1の円$C_2$が、$C_1$に外接しながら滑らずに反時計回りに回転する。円$C_2$上に固定された点Pの動きを考える。

(1) 円$C_2$の中心をAとし、$x$軸と線分OAのなす角を$t$とするとき、$\angle OAP$を$t$を用いて表す。

(2) 点Pの座標を$t$を用いて表す。

(3) $C_2$が$C_1$のまわりを一周するとき、点Pの描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\angle OAP$を求める。

円$C_2$が円$C_1$に外接しながら回転するとき、$C_2$の中心Aは、原点Oを中心とする半径3の円周上を動く。

$OA=3$であり、$C_2$が$C_1$の周りを角度$t$だけ回転するとき、$C_2$自身も$2t$だけ回転する。

したがって、$\angle OAP=\pi-2t$

(2) 点Pの座標を求める。

点Aの座標は$(3\cos t, 3\sin t)$である。

点Pは、点Aを中心として、$\pi+t$だけ回転した位置にあるので、点Pの座標は

$(3\cos t + \cos(\pi+t), 3\sin t + \sin(\pi+t))$となる。

$\cos(\pi+t) = -\cos t$, $\sin(\pi+t) = -\sin t$であるから、

$(3\cos t - \cos t, 3\sin t - \sin t) = (2\cos t, 2\sin t)$

(3) 点Pの描く曲線の長さを求める。

点Pの座標は$(2\cos t, 2\sin t)$であるから、点Pは原点Oを中心とする半径2の円周上を動く。

$C_2$が$C_1$の周りを一周するとき、$t$は$0$から$2\pi$まで変化する。

点Pの$x$座標、および$y$座標を$t$で微分すると、

$\frac{dx}{dt} = -2\sin t$, $\frac{dy}{dt} = 2\cos t$

したがって、求める曲線の長さは、

$\int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2} dt$

$= \int_0^{2\pi} \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{4(\sin^2 t + \cos^2 t)} dt = \int_0^{2\pi} 2 dt = 2[t]_0^{2\pi} = 2(2\pi - 0) = 4\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\angle OAP = \pi - 2t$

(2) 点Pの座標は $(2\cos t, 2\sin t)$

(3) 点Pの描く曲線の長さは $4\pi$