底面の半径が5cmの円錐Aを、頂点Oを中心として平面上で滑らないように転がしたところ、元の位置に戻るまでに6回転した。このとき、円錐Aの表面積を求めよ。円周率は$\pi$とする。

1. 問題の内容

底面の半径が5cmの円錐Aを、頂点Oを中心として平面上で滑らないように転がしたところ、元の位置に戻るまでに6回転した。このとき、円錐Aの表面積を求めよ。円周率は$\pi$とする。

2. 解き方の手順

まず、円錐を転がしてできる円の円周を求める。円錐が6回転して元の位置に戻るので、円錐の底面の円周の6倍が、転がしてできる円の円周に等しい。

円錐の底面の円周は、半径が5cmなので、

$2 \times \pi \times 5 = 10\pi$ (cm)

転がしてできる円の円周は、この6倍なので、

$10\pi \times 6 = 60\pi$ (cm)

転がしてできる円の半径をRとすると、

$2 \times \pi \times R = 60\pi$

$R = 30$ (cm)

円錐の母線の長さをlとすると、円錐のおうぎ形の弧の長さは円錐の底面の円周に等しいから、

$2 \times \pi \times 5 = 10 \pi$

また、おうぎ形の弧の長さは、母線lを用いて、$2 \pi l \times \frac{\theta}{360}$ と表せる。

ここで、$\frac{\theta}{360} = \frac{5}{l}$

円錐を転がしてできる円の半径Rは、母線lと等しいので、l = 30cm

円錐の側面積は、$\pi \times 5 \times 30 = 150\pi$ (cm²)

円錐の底面積は、$\pi \times 5^2 = 25\pi$ (cm²)

円錐の表面積は、側面積と底面積の和なので、

$150\pi + 25\pi = 175\pi$ (cm²)

3. 最終的な答え

$175\pi$ cm²