一辺の長さが $\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ があり、$\triangle ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に $CD=1$ となる点 $D$ をとる。線分 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする。このとき、$\angle ADC$, $AD$, $\triangle ACD$ の面積、$\triangle ACD$ の内接円の半径、$AE:EC$, $\triangle CDE$ の面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ があり、$\triangle ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に $CD=1$ となる点 $D$ をとる。線分 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする。このとき、$\angle ADC$, $AD$, $\triangle ACD$ の面積、$\triangle ACD$ の内接円の半径、$AE:EC$, $\triangle CDE$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円周角の定理より、$\angle ABC = \angle ADC = 60^\circ$。ただし、点Dは点Bを含まない弧CA上にあるので、$\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$。

(2) $\triangle ACD$ において、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD\cdot CD\cdot \cos{120^\circ}$

$(\sqrt{7})^2 = AD^2 + 1^2 - 2AD\cdot 1\cdot (-\frac{1}{2})$

$7 = AD^2 + 1 + AD$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD+3)(AD-2)=0$

$AD = -3, 2$

$AD>0$ より $AD = 2$

$\triangle ACD$ の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2}AD\cdot CD\cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ACD$ の内接円の半径を $r$ とすると、

$S = \frac{1}{2}r(AC+CD+DA) = \frac{1}{2}r(\sqrt{7}+1+2) = \frac{1}{2}r(3+\sqrt{7})$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}r(3+\sqrt{7})$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{9-7} = \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{21}}{2} = \frac{3}{2}(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{2}(\sqrt{3}-\sqrt{\frac{7}{3}})$

$r = \frac{\sqrt{3}}{2} (3-\sqrt{7})$

$\triangle ABC$ と $\triangle DBC$ において、$\angle BAC = \angle BDC = 60^\circ$、$\angle ACB = \angle ADB$

$\angle ACB = \angle ADE$ （円周角の定理から）

$\triangle ADE$ と $\triangle CBE$ は相似

したがって、$\triangle ADE \sim \triangle CBE$

よって $AE/CE = AD/BC = 2/\sqrt{7}$

$AE:EC = AD:CD = AD/BC = 2:\sqrt{7}$。

ただし、$AE:EC$ は整数比である必要があるので、$AE:EC = 2:\sqrt{7}$ ではない。

$AE:EC = AD:BC = 2:\sqrt{7}$ より、メネラウスの定理を使用。

$\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CB}{BD}\cdot \frac{DX}{XA}=1$。XはAC上の点。

$\triangle CDE$ の面積を求める。

$AE:EC = 2:1$

$\triangle ABD \sim \triangle CED$

$BC:CD=AC:CD=\sqrt{7}:1$。

$\triangle CDE$ の面積 $S_{CDE}$ は $\frac{1}{2}CD\cdot CE \cdot \sin{\angle DCE}$

$S_{CDE}=\frac{CE}{AE} \cdot \frac{CD}{AD} \times \frac{CD}{AC}$

$\triangle ACD$ の面積が$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$AE:EC=2:1$から$AC:CE=3:1$

$AD:CD = 2:1$

$\frac{S_{CDE}}{S_{ACD}}=\frac{CD}{AD}\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$

$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{7}}$

$\triangle ACD = \sqrt{3}/2$

$\triangle ADE \sim \triangle CBE$なので、$AD/BC=2/\sqrt{7}$

$CD/AC = 1/\sqrt{7}$

$\frac{S_{CDE}}{S_{ADE}} = \frac{CE}{AE} = \frac{1}{2}$

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}= \frac{AE^2}{AB^2}$

$S_{ADE}=\frac{AD \cdot DE \cdot \sin{\angle ADE}}{2}$

$2 \cdot 1 \sin(60) \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle CED \approx \triangle AEB$

$CED/AEB =(CE/AE)2 =(1/2)2 = 1/4$

$\triangle ABC \sim \triangle DEC$

$AE:EC = AD/BC$

$2/\sqrt{7}$

$\triangle ACD$の面積は$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle CDE=\frac{1}{6}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12}$

3. 最終的な答え

$\angle ADC = 120^\circ$

$AD = 2$

$\triangle ACD$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ACD$ の内接円の半径は $\frac{\sqrt{3}}{2} (3-\sqrt{7})$

$AE:EC = 2:1$

$\triangle CDE$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{12}$