複素数平面上に3点O(0), A(-1+2i), Bがあり、三角形OABが点Aを直角の頂点とする直角二等辺三角形であるとき、点Bを表す複素数を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点O(0), A(-1+2i), Bがあり、三角形OABが点Aを直角の頂点とする直角二等辺三角形であるとき、点Bを表す複素数を求めよ。

2. 解き方の手順

点Aが直角の頂点であることから、線分ABと線分AOは直交し、かつ長さが等しい。点Aを表す複素数を$\alpha = -1 + 2i$、点Bを表す複素数を$\beta$とおく。

線分AOを反時計回りに90度回転させると線分ABになることから、

$$\beta - \alpha = (\alpha - 0)i = \alpha i$$

と表せる。したがって、

$$\beta = \alpha + \alpha i$$

$$\beta = (-1 + 2i) + (-1 + 2i)i$$

$$\beta = -1 + 2i - i + 2i^2$$

$$\beta = -1 + 2i - i - 2$$

$$\beta = -3 + i$$

また、線分AOを時計回りに90度回転させると線分ABになる場合も考えられる。

この場合、

$$\beta - \alpha = -\alpha i$$

となるから、

$$\beta = \alpha - \alpha i$$

$$\beta = (-1 + 2i) - (-1 + 2i)i$$

$$\beta = -1 + 2i + i - 2i^2$$

$$\beta = -1 + 2i + i + 2$$

$$\beta = 1 + 3i$$

以上より、点Bを表す複素数は$-3+i$または$1+3i$である。

3. 最終的な答え

$-3 + i$, $1 + 3i$