角度 $A$ が鋭角であるという条件のもとで、与えられた三角比の値から他の三角比の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $\cos A = \frac{1}{5}$ のとき、$\sin A$ を求める。 (2) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ を求める。 (3) $\sin A = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos A$ を求める。

はい、承知いたしました。三角比の問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

角度 $A$ が鋭角であるという条件のもとで、与えられた三角比の値から他の三角比の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) $\cos A = \frac{1}{5}$ のとき、$\sin A$ を求める。

(2) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin A$ を求める。

(3) $\sin A = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos A$ を求める。

2. 解き方の手順

三角比の相互関係を利用して解きます。特に重要な公式は以下です。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

また、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ も必要に応じて使用します。

$A$が鋭角であることから、$\sin A > 0$、$\cos A > 0$、$\tan A > 0$であることに注意します。

(1) $\cos A = \frac{1}{5}$ のとき

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$A$は鋭角なので$\sin A > 0$であるから、

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\cos A = \frac{1}{3}$ のとき

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$A$は鋭角なので$\sin A > 0$であるから、

$\sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\sin A = \frac{2}{3}$ のとき

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$A$は鋭角なので$\cos A > 0$であるから、

$\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$