ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ となす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ となす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。次に、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算する。最後に、内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ より、$\cos\theta$ を計算し、$\theta$ を求める。

(1) $\vec{a}=(1, -2, -3)$, $\vec{b}=(6, 2, -4)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(6) + (-2)(2) + (-3)(-4) = 6 - 4 + 12 = 14$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{14}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{14}} = \frac{14}{2 \cdot 14} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$)

(2) $\vec{a}=(3, -1, 1)$, $\vec{b}=(2, 5, -1)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (-1)(5) + (1)(-1) = 6 - 5 - 1 = 0$

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{0}{|\vec{a}||\vec{b}|} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ (または $90^\circ$)

(3) $\vec{a}=(3, 1, 2)$, $\vec{b}=(-6, -2, -4)$ の場合

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-6) + (1)(-2) + (2)(-4) = -18 - 2 - 8 = -28$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-28}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{14}} = \frac{-28}{2 \cdot 14} = -1$

$\theta = \pi$ (または $180^\circ$)

3. 最終的な答え

(1) 内積: $14$, なす角: $\frac{\pi}{3}$

(2) 内積: $0$, なす角: $\frac{\pi}{2}$

(3) 内積: $-28$, なす角: $\pi$