問題は、3つの平面の方程式が与えられており、それぞれの平面の法線ベクトルを求めるものです。 (i) $-2x + y + z = 2$ (ii) $x + y + 2z = 2$ (iii) $x - y - z = -3$

1. 問題の内容

問題は、3つの平面の方程式が与えられており、それぞれの平面の法線ベクトルを求めるものです。

(i) $-2x + y + z = 2$

(ii) $x + y + 2z = 2$

(iii) $x - y - z = -3$

2. 解き方の手順

平面の方程式が $ax + by + cz = d$ で与えられているとき、その平面の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ で表されます。

(i) $-2x + y + z = 2$ の場合、法線ベクトル $\vec{n_1}$ は $x, y, z$ の係数から $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

(ii) $x + y + 2z = 2$ の場合、法線ベクトル $\vec{n_2}$ は $x, y, z$ の係数から $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(i) の平面の法線ベクトルは $\vec{n_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) の平面の法線ベクトルは $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$