3つの平面が与えられています。 (i) $-2x + y + z = 2$ (ii) $x + y + 2z = 2$ (iii) $x - y - z = -3$ これらの平面に関する以下の問いに答えます。 1. (i)の平面の法線ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

3つの平面が与えられています。

(i) $-2x + y + z = 2$

(ii) $x + y + 2z = 2$

(iii) $x - y - z = -3$

これらの平面に関する以下の問いに答えます。

1. (i)の平面の法線ベクトルを求めます。

2. (ii)の平面の法線ベクトルを求めます。

3. (iii)の平面上の点を求めます。

2. 解き方の手順

1. 平面 $ax + by + cz = d$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ で表されます。

(i) の平面 $-2x + y + z = 2$ の場合、法線ベクトル $\vec{n_1}$ は

$\vec{n_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

となります。したがって、①は-2、②は1です。

2. (ii) の平面 $x + y + 2z = 2$ の場合、法線ベクトル $\vec{n_2}$ は

$\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

となります。したがって、③は1、④は2です。

3. (iii) の平面 $x - y - z = -3$ 上の点 $(1, 1, z)$ を求めるには、この点を平面の方程式に代入します。

$1 - 1 - z = -3$

$-z = -3$

$z = 3$

したがって、平面上の点は $(1, 1, 3)$ です。

3. 最終的な答え

1. ①: -2, ②: 1

2. ③: 1, ④: 2

3. ⑤: 3