(1) 一辺の長さが $2a$ の合同な正方形ABCDとDEFGが重なっており、辺BCとEFの交点をHとする。BH = b のとき、図の色のついた部分の面積を求めよ。 (2) 線分ABを直径とする半円がある。線分AB上に、AC = 2a, CB = 2b となる点Cをとり、線分AC, CBをそれぞれ直径とする半円をかいた。このとき、図の色のついた部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 一辺の長さが $2a$ の合同な正方形ABCDとDEFGが重なっており、辺BCとEFの交点をHとする。BH = b のとき、図の色のついた部分の面積を求めよ。

(2) 線分ABを直径とする半円がある。線分AB上に、AC = 2a, CB = 2b となる点Cをとり、線分AC, CBをそれぞれ直径とする半円をかいた。このとき、図の色のついた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 色のついた部分の面積は、正方形ABCDの面積から三角形BHEの面積を引いたものに、正方形DEFGの面積から三角形CHFの面積を引いたものを足し合わせれば良い。

正方形ABCDの面積は $(2a)^2 = 4a^2$ である。

正方形DEFGの面積は $(2a)^2 = 4a^2$ である。

三角形BHEの面積は $\frac{1}{2} \times BH \times BE = \frac{1}{2} \times b \times b = \frac{1}{2}b^2$ である。

三角形CHFの面積は $\frac{1}{2} \times CH \times CF = \frac{1}{2} \times (2a - b) \times (2a - b) = \frac{1}{2}(2a - b)^2 = \frac{1}{2}(4a^2 - 4ab + b^2) = 2a^2 - 2ab + \frac{1}{2}b^2$ である。

よって、求める面積は

$4a^2 - \frac{1}{2}b^2 + 4a^2 - (2a^2 - 2ab + \frac{1}{2}b^2) = 4a^2 - \frac{1}{2}b^2 + 4a^2 - 2a^2 + 2ab - \frac{1}{2}b^2 = 6a^2 - b^2 + 2ab$ である。

(2) 線分ABを直径とする半円の面積は、半径が $a+b$ なので $\frac{1}{2} \pi (a+b)^2$ である。

線分ACを直径とする半円の面積は、半径が $a$ なので $\frac{1}{2} \pi a^2$ である。

線分CBを直径とする半円の面積は、半径が $b$ なので $\frac{1}{2} \pi b^2$ である。

求める色のついた部分の面積は、$\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} \pi b^2 - \frac{1}{2} \pi (a+b)^2 = \frac{1}{2} \pi (a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2)) = \frac{1}{2} \pi (a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2) = \frac{1}{2} \pi (-2ab) = -\pi ab$

これはあり得ない。

線分ABを直径とする半円の面積から、白い部分（半径$a$の半円と半径$b$の半円）を引くと考える。これは間違いである。

大きい半円の面積は $\frac{1}{2} \pi (a+b)^2 = \frac{1}{2}\pi (a^2+2ab+b^2)$ である。

小さい半円二つを足すと $\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} \pi b^2 = \frac{1}{2}\pi (a^2+b^2)$である。

色付き部分の面積は、小さい半円二つを足したものであるので $\frac{1}{2}\pi (a^2+b^2)$である。

3. 最終的な答え

(1) $6a^2 + 2ab - b^2$

(2) $\pi ab$

誤りがありましたので訂正します。

(1) $6a^2 + 2ab - b^2$

(2) $\pi a b$