(1) 3辺の長さが $a=7, b=5, c=4$ である $\triangle ABC$ において、$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。 (2) 半径3の円に内接する正十二角形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 3辺の長さが $a=7, b=5, c=4$ である $\triangle ABC$ において、$\cos A$ と $\sin A$ の値を求めよ。

(2) 半径3の円に内接する正十二角形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ の値を求めるには、余弦定理を利用する。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

であるから、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

値を代入すると、

$\cos A = \frac{5^2 + 4^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{25 + 16 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$

次に、$\sin A$ の値を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

であるから、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$0 < A < \pi$ であるから、$\sin A > 0$ となる。

$\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) 半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の面積は、

$S = \frac{1}{2} n r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

で与えられる。

今回は $r=3$, $n=12$ なので、

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3^2 \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = 6 \cdot 9 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 54 \cdot \frac{1}{2} = 27$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = -\frac{1}{5}$, $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $S = 27$