三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACを1:4に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をR、直線ARと辺BCの交点をSとする。$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{AP}$, $\vec{AQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (2) $\vec{AR}$, $\vec{AS}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (3) $\triangle ABC$の面積は$\triangle RBS$の面積の何倍かを答えよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACを1:4に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をR、直線ARと辺BCの交点をSとする。$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{AP}$, $\vec{AQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(2) $\vec{AR}$, $\vec{AS}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(3) $\triangle ABC$の面積は$\triangle RBS$の面積の何倍かを答えよ。

2. 解き方の手順

(1)

Pは辺ABを1:3に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$

Qは辺ACを1:4に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{5}\vec{AC} = \frac{1}{5}\vec{b}$

(2)

$\vec{AR}$について考える。

Rは線分BQ上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{AR} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AQ} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{5}\vec{b}$

Rは線分CP上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{AR} = t\vec{AP} + (1-t)\vec{AC} = \frac{t}{4}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{t}{4}$

$\frac{s}{5} = 1-t$

この連立方程式を解くと、

$t = \frac{20}{23}, s = \frac{15}{23}$

よって、

$\vec{AR} = \frac{5}{23}\vec{a} + \frac{4}{23}\vec{b}$

$\vec{AS}$について考える。

Sは直線AR上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{AS} = k\vec{AR} = \frac{5k}{23}\vec{a} + \frac{4k}{23}\vec{b}$

Sは辺BC上にあるので、実数$l$を用いて

$\vec{AS} = (1-l)\vec{AB} + l\vec{AC} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{5k}{23} = 1-l$

$\frac{4k}{23} = l$

この連立方程式を解くと、

$k = \frac{23}{9}, l = \frac{4}{9}$

よって、

$\vec{AS} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(3)

$\vec{AR} = \frac{5}{23}\vec{a} + \frac{4}{23}\vec{b}$、$\vec{AS} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$、$\vec{AB} = \vec{a}$、$\vec{AC} = \vec{b}$より、

$\vec{BS} = \vec{AS} - \vec{AB} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b} - \vec{a} = -\frac{4}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

$\vec{BR} = \vec{AR} - \vec{AB} = \frac{5}{23}\vec{a} + \frac{4}{23}\vec{b} - \vec{a} = -\frac{18}{23}\vec{a} + \frac{4}{23}\vec{b}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ （$\theta$は$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角）

$\triangle RBS = \frac{1}{2}|\vec{BR}||\vec{BS}|\sin\theta' = \frac{1}{2} |-\frac{18}{23}\vec{a} + \frac{4}{23}\vec{b}| |-\frac{4}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}| \sin\theta'$

$\triangle RBS = \frac{1}{2} |\frac{18}{23} \frac{4}{9} (\vec{a} \times \vec{a}) - \frac{18}{23} \frac{4}{9} (\vec{a} \times \vec{b}) - \frac{4}{23} \frac{4}{9} (\vec{b} \times \vec{a}) + \frac{4}{23} \frac{4}{9} (\vec{b} \times \vec{b})|$

$\triangle RBS = \frac{1}{2} |-\frac{8}{23} (\vec{a} \times \vec{b}) + \frac{16}{207} (\vec{a} \times \vec{b})|$

$\triangle RBS = \frac{1}{2} |-\frac{56}{207} (\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{56}{207} \cdot \frac{1}{2} |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = \frac{56}{207} \triangle ABC$

したがって、$\triangle ABC$の面積は$\triangle RBS$の$\frac{207}{56}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{a}$, $\vec{AQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$

(2) $\vec{AR} = \frac{5}{23}\vec{a} + \frac{4}{23}\vec{b}$, $\vec{AS} = \frac{5}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(3) $\frac{207}{56}$倍