長方形ABCDの内部に互いに外接する2つの円$C_1$と$C_2$がある。$C_1$は辺AB, BCに、$C_2$は辺CD, DAにそれぞれ接している。$C_1$と$C_2$の中心をそれぞれ$O_1$と$O_2$、半径をそれぞれ$r_1$と$r_2$とする。$O_1$を通りABに平行な直線と、$O_2$を通りBCに平行な直線の交点をEとする。AB=9, $O_1O_2=5$である。 (1) $O_1E$, ADの長さを求めよ。 (2) $C_1, C_2$の面積の和をSとするとき、$S$を$r_1$で表せ。 (3) $r_1$のとりうる値の範囲を求めよ。 (4) $S$の最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDの内部に互いに外接する2つの円$C_1$と$C_2$がある。$C_1$は辺AB, BCに、$C_2$は辺CD, DAにそれぞれ接している。$C_1$と$C_2$の中心をそれぞれ$O_1$と$O_2$、半径をそれぞれ$r_1$と$r_2$とする。$O_1$を通りABに平行な直線と、$O_2$を通りBCに平行な直線の交点をEとする。AB=9, $O_1O_2=5$である。

(1) $O_1E$, ADの長さを求めよ。

(2) $C_1, C_2$の面積の和をSとするとき、$S$を$r_1$で表せ。

(3) $r_1$のとりうる値の範囲を求めよ。

(4) $S$の最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $O_1E$, ADの長さを求める。

$O_1E$は$|r_1 - r_2|$に等しく、$O_2E$は$r_1 + r_2$に等しい。

$O_1O_2=5$なので、ピタゴラスの定理より

$O_1O_2^2 = O_1E^2 + O_2E^2$

$5^2 = (r_1 + r_2)^2 + (r_1 - r_2)^2$

$25 = (r_1+r_2)^2 + (9 - (r_1+r_2))^2$

$AD = r_1 + r_2$

$r_1 + r_2 = x$とすると、$x^2 + (9-x)^2 = 25$

$x^2 + 81 - 18x + x^2 = 25$

$2x^2 - 18x + 56 = 0$

$x^2 - 9x + 28 = 0$

$x = (9 \pm \sqrt{81 - 4 \times 28})/2 = (9 \pm \sqrt{81 - 112})/2$

これは実数解を持たないので、最初の式に間違いがある。

$O_1E = |9 - (r_1 + r_2)|$

$O_2E = |r_1 - r_2|$

$25 = (9 - (r_1+r_2))^2 + (r_1 - r_2)^2$

$25 = (9-x)^2 + (2r_1 - x)^2$

$25 = 81 - 18x + x^2 + 4r_1^2 - 4r_1x + x^2$

$0 = 2x^2 - (18 + 4r_1)x + 4r_1^2 + 56$

$x = (18 + 4r_1 \pm \sqrt{(18+4r_1)^2 - 8(4r_1^2+56)})/4$

$x = (18+4r_1 \pm \sqrt{324 + 144r_1 + 16r_1^2 - 32r_1^2 - 448})/4$

$x = (18+4r_1 \pm \sqrt{-16r_1^2 + 144r_1 - 124})/4$

$x = (9+2r_1 \pm \sqrt{-4r_1^2 + 36r_1 - 31})/2$

$O_1E = \sqrt{5^2 - (r_1-r_2)^2} = |9-r_1-r_2|$

$O_1E = |9-(r_1+r_2)|$

$AD=9-O_1E$

$AD = r_1+r_2$

$O_1E^2 + (r_1-r_2)^2 = 25$

$O_1E^2 + (r_1 - (AD-r_1))^2 = 25$

$O_1E^2 + (2r_1-AD)^2 = 25$

AB = 9, AD = x

$O_1E = 9 - x$

$(9-x)^2 + (r_1 - (x-r_1))^2 = 5^2$

$(9-x)^2 + (2r_1 - x)^2 = 25$

AD = 6

$O_1E = 9-6=3$

$r_1 = 3/2$

(2)

$S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi (r_1^2 + r_2^2) = \pi (r_1^2 + (AD-r_1)^2) = \pi (r_1^2 + (6-r_1)^2)$

$S = \pi (r_1^2 + 36 - 12r_1 + r_1^2) = \pi (2r_1^2 - 12r_1 + 36) = 2\pi (r_1^2 - 6r_1 + 18)$

$S = 2\pi ((r_1 - 3)^2 + 9)$

$S = 2\pi (r_1-3)^2 + 18\pi$

(3)

$(9-x)^2 + (2r_1-x)^2 = 25$

$x = 6$, $36$

(4)

3. 最終的な答え

(1) $O_1E = 3, AD = 6$

(2) $S = 2\pi (r_1-3)^2 + 18\pi$

(3) $3$

(4) 最大値: $36$