三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACを1:4に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をR、直線ARと辺BCの交点をSとする。$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AC}=\vec{b}$ とおく。 (1) $\vec{AP}$, $\vec{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。 (2) $\vec{AR}$, $\vec{AS}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。 (3) 三角形ABCの面積は三角形RBSの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACを1:4に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をR、直線ARと辺BCの交点をSとする。$\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AC}=\vec{b}$ とおく。

(1) $\vec{AP}$, $\vec{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。

(2) $\vec{AR}$, $\vec{AS}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。

(3) 三角形ABCの面積は三角形RBSの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは辺ABを1:3に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$

点Qは辺ACを1:4に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{5}\vec{AC} = \frac{1}{5}\vec{b}$

(2)

$\vec{AR}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。点Rは線分BQとCPの交点なので、実数$s, t$を用いて、

$\vec{AR} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AQ} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{5}\vec{b}$

$\vec{AR} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AP} = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{4}\vec{a}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{t}{4}$

$\frac{s}{5} = 1-t$

これを解くと、$s = \frac{20}{21}$, $t = \frac{4}{21}$となる。

$\vec{AR} = (1-\frac{20}{21})\vec{a} + \frac{20}{21} \times \frac{1}{5} \vec{b} = \frac{1}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b}$

$\vec{AR} = \frac{1}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b}$

次に、$\vec{AS}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。点Sは直線AR上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{AS} = k\vec{AR} = \frac{k}{21}\vec{a} + \frac{4k}{21}\vec{b}$

また、点Sは辺BC上にあるので、実数$l$を用いて、

$\vec{AS} = (1-l)\vec{AB} + l\vec{AC} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{k}{21} = 1-l$

$\frac{4k}{21} = l$

これを解くと、$k = \frac{21}{5}$, $l = \frac{4}{5}$となる。

$\vec{AS} = \frac{21}{5} \times (\frac{1}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

$\vec{AS} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

(3)

$\vec{BS} = \vec{AS} - \vec{AB} = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}) - \vec{a} = -\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

$\vec{BR} = \vec{AR} - \vec{AB} = (\frac{1}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b}) - \vec{a} = -\frac{20}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b}$

$\triangle RBS = \frac{1}{2} |(-\frac{4}{5}) \times \frac{4}{21} - \frac{4}{5} \times (-\frac{20}{21})| |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta} = \frac{1}{2} |\frac{-16+80}{105}| |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta} = \frac{1}{2} \frac{64}{105} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta} = \frac{32}{105} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$

$\frac{\triangle ABC}{\triangle RBS} = \frac{\frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}}{\frac{32}{105} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}} = \frac{105}{64}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{a}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$

(2)

$\vec{AR} = \frac{1}{21}\vec{a} + \frac{4}{21}\vec{b}$

$\vec{AS} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{4}{5}\vec{b}$

(3)

$\frac{105}{64}$ 倍