原点O以外の点Pに対して、半直線OP上に $OP \cdot OQ = 1$ を満たす点Qをとる。点Pが与えられた円上を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。問題は以下の2つです。 (1) 円 $x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$ 上をPが動くときのQの軌跡。 (2) 円 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ 上をPが動くときのQの軌跡。

1. 問題の内容

原点O以外の点Pに対して、半直線OP上に $OP \cdot OQ = 1$ を満たす点Qをとる。点Pが与えられた円上を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。問題は以下の2つです。

(1) 円 $x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$ 上をPが動くときのQの軌跡。

(2) 円 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ 上をPが動くときのQの軌跡。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$、点Qの座標を $(X, Y)$ とおく。 $OP \cdot OQ = 1$の関係と、Pが半直線OQ上にあることから、$x = kX$, $y = kY$ (kは実数)と表せる。このとき、

$OP = \sqrt{x^2+y^2}$

$OQ = \sqrt{X^2+Y^2}$

であるから、

$\sqrt{x^2+y^2} \cdot \sqrt{X^2+Y^2} = 1$

$\sqrt{k^2X^2+k^2Y^2} \cdot \sqrt{X^2+Y^2} = 1$

$k\sqrt{X^2+Y^2} \cdot \sqrt{X^2+Y^2} = 1$

$k(X^2+Y^2) = 1$

$k = \frac{1}{X^2+Y^2}$

したがって、

$x = \frac{X}{X^2+Y^2}$

$y = \frac{Y}{X^2+Y^2}$

(1) Pが円 $x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$ 上を動くとき、

$(\frac{X}{X^2+Y^2})^2 + (\frac{Y}{X^2+Y^2})^2 - 4(\frac{X}{X^2+Y^2}) + 1 = 0$

$\frac{X^2}{(X^2+Y^2)^2} + \frac{Y^2}{(X^2+Y^2)^2} - \frac{4X}{X^2+Y^2} + 1 = 0$

$\frac{X^2+Y^2}{(X^2+Y^2)^2} - \frac{4X}{X^2+Y^2} + 1 = 0$

$\frac{1}{X^2+Y^2} - \frac{4X}{X^2+Y^2} + 1 = 0$

$1 - 4X + (X^2+Y^2) = 0$

$X^2 + Y^2 - 4X + 1 = 0$

よって、Qの軌跡は円 $x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$ である。

(2) Pが円 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ 上を動くとき、

$(\frac{X}{X^2+Y^2})^2 + (\frac{Y}{X^2+Y^2})^2 - 4(\frac{X}{X^2+Y^2}) = 0$

$\frac{X^2}{(X^2+Y^2)^2} + \frac{Y^2}{(X^2+Y^2)^2} - \frac{4X}{X^2+Y^2} = 0$

$\frac{X^2+Y^2}{(X^2+Y^2)^2} - \frac{4X}{X^2+Y^2} = 0$

$\frac{1}{X^2+Y^2} - \frac{4X}{X^2+Y^2} = 0$

$1 - 4X = 0$

$X = \frac{1}{4}$

よって、Qの軌跡は直線 $x = \frac{1}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 円 $x^2 + y^2 - 4x + 1 = 0$

(2) 直線 $x = \frac{1}{4}$