(1) $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ を示す。 (2) $\cos 54^{\circ}$ の値を求める。 (3) 頂点と重心との距離が $r$ の正五角形の面積を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

(1) $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ を示す。

(2) $\cos 54^{\circ}$ の値を求める。

(3) 頂点と重心との距離が $r$ の正五角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ の証明

加法定理を用いて、$\cos 3\theta$ を展開する。

$\cos 3\theta = \cos (2\theta + \theta)$

$= \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta$

2倍角の公式より、$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$、$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を代入すると、

$\cos 3\theta = (2\cos^2 \theta - 1) \cos \theta - (2\sin \theta \cos \theta) \sin \theta$

$= 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\sin^2 \theta \cos \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ を代入すると、

$\cos 3\theta = 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2(1 - \cos^2 \theta) \cos \theta$

$= 2\cos^3 \theta - \cos \theta - 2\cos \theta + 2\cos^3 \theta$

$= 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

よって、$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ が成り立つ。

(2) $\cos 54^{\circ}$ の値の計算

$\theta = 18^{\circ}$ とすると、$3\theta = 54^{\circ}$となる。

(1)より、$\cos 54^{\circ} = 4\cos^3 18^{\circ} - 3\cos 18^{\circ}$

ここで、$\cos 54^{\circ} = \sin 36^{\circ}$ である。

また、$\sin 36^{\circ} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$、$\cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

これらを代入すると

$\cos 54^{\circ} = 4(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^3 - 3(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})$

$\cos 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\theta = 18^{\circ}$とおくと、$5\theta = 90^{\circ}$となり、$3\theta = 90^{\circ} - 2\theta$

$\cos 3\theta = \cos (90^{\circ} - 2\theta) = \sin 2\theta$

(1)より、$4\cos^3 \theta - 3\cos \theta = 2\sin \theta \cos \theta$

$\cos \theta (4\cos^2 \theta - 3) = 2\sin \theta \cos \theta$

$\cos \theta \neq 0$ なので、 $4\cos^2 \theta - 3 = 2\sin \theta$

$4(1-\sin^2 \theta) - 3 = 2\sin \theta$

$4 - 4\sin^2 \theta - 3 = 2\sin \theta$

$4\sin^2 \theta + 2\sin \theta - 1 = 0$

$\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$\sin 18^{\circ} > 0$ なので、$\sin 18^{\circ} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

よって、 $\cos 54^{\circ} = \sin 36^{\circ} = 2 \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(3) 頂点と重心との距離が $r$ の正五角形の面積

正五角形の中心角は $\frac{2\pi}{5}$ であり、一つの頂点から中心までの距離は $r$ である。

正五角形は合同な5つの二等辺三角形に分割できる。一つの二等辺三角形の面積は、$\frac{1}{2} r^2 \sin \frac{2\pi}{5}$となる。

したがって、正五角形の面積 $S$ は、

$S = 5 \times \frac{1}{2} r^2 \sin \frac{2\pi}{5} = \frac{5}{2} r^2 \sin \frac{2\pi}{5}$

$\sin \frac{2\pi}{5} = \sin 72^{\circ} = \cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

したがって、$S = \frac{5}{2} r^2 \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} = \frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8} r^2$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ (証明完了)

(2) $\cos 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(3) 正五角形の面積: $\frac{5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8} r^2$